Es gibt irgendwie zwei Definitionen von Konvexität und Konkavität bzw. streng konkav/konvex oder konkav und konvex oder weder konkav noch konvex.
Man erkennt Krümmungsverhalten entweder anhand des Graphen (also die Definition mit konvexe Funktion = Epigraph konvexe Menge) oder man bildet die zweite Ableitung. Aber diese zwei Definitonen widersprechen sich irgendwie, finde ich.

Schaut man sich f(x)= | x |, dann kann man ja sagen, dass die Funktion konvex ist, aber nicht streng konvex, weil die Verbindungsstrecke zwischen zwei beliebigen Punkten im Epigraph entweder oberhalb des Graphen liegt oder mit dem Graphen zusammenfällt. 
Wenn mann sich aber die zweite Ableitung der Funktion anschaut, dann ist die zweite Ableitung immer 0, weil f(x) = | x | hat ja quasi den gleichen Graphen wie eine zusammengesetzte Funktion von x und -x. 

Also anhand des Graphen kann man sagen, dass es konvex ist, aber da die zweite Ableitung immer 0 ist, kann man ja auch sagen, dass f (x) sowohl konvex und als auch konkav ist. Andere Funktionen wie f(x)=2x oder f (x) = 5 haben ja auch f''(x)=0. Also wenn ich mir die zweite Ableitung von f (x) = | x | als Graphen anschaue könnte ich ja auch sagen,dass f (x) = | x | konvex und konkav ist, wie alle anderen Funktionen, nur gerade Linien im als Graphen haben?