Warum funktioniert ein Basiswechsel mit e ? (Beweis)

Erste Frage Aufrufe: 578     Aktiv: 01.04.2020 um 22:07
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Hey, ich frage mich seit ein paar Tagen warum ein Basiswechsel bei einer Exponentialfunktion zur Basis e funktioniert. Ich meine mir ist das technische klar aber warum funktioniert das nur weil ich ein aus 2^x = e ^ln(2) * x mache? Gibt es dafür ein allgemeinen Beweis?

Grüße und bleibt gesund!

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Student, Punkte: 12

 
Hallo! Basis von welchem Vektorraum? VG   ─   monil 31.03.2020 um 01:37
Basis einer Potenz!   ─   digamma 31.03.2020 um 09:18
Oh, natürlich; zu kompliziert gedacht! Entschuldigung..   ─   monil 31.03.2020 um 09:41
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1 Antwort
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Hallo,

ja dafür gibt es einen allgemeinen Beweis :p

Wir setzen bei der Definition des Logarithmus an:

$$ x = a^{\log_a(x)} $$

Nun logarithmieren wir beide Seiten zu einer anderen Basis

$$ \Rightarrow \log_b(x) = \log_b(a^{\log_a(x)}) $$

Wir nutzen die Logarithmusgestze

$$ \Rightarrow \log_b(x) = \log_a(x) \cdot \log_b(a) $$

und dividieren noch durch \( \log_b(a) \)

$$ \Rightarrow \frac {\log_b(x)} {\log_b(a)} = \log_a(x) $$

Damit haben wir die Basiswechselformel hergeleitet.

Grüße Christian

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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K

 
Ich danke dir!   ─   catchup 01.04.2020 um 11:50
Sehr gerne :)   ─   christian_strack 01.04.2020 um 22:07

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