Hallo,
es gilt
$$\cos^2(2x)=1-\sin^2(2x)$$
Das ist der trigonometrische Pythagoras. Weiter gilt:
$$1-\sin^2(2x)=1-4\sin^2(x)\cos^2(x)$$
Dabei wurde benutzt, dass:
$$\sin^2(2x)=\Bigl(\sin(2x)\Bigr)^2=\Bigl(2\sin(x)\cos(x)\Bigr)^2=4\sin^2(x)\cos^2(x)$$
und das wiederum gilt, wegen
$$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x).$$
Das ist ein elementares Additionstheorem. Wir haben also bisher:
$$\cos^2(2x)=1-4\sin^2(x)\cos^2(x)$$
Erneutes Anwenden des trigonometrischen Pythagoras liefert:
$$1-4\sin^2(x)\cos^2(x)=1-4\sin^2(x)\Bigl(1-\sin^2(x)\Bigr)=1-4\sin^2(x)+4\sin^4(x)$$
Ich hoffe das ist ausführlich genug und eine Alternativlösung ohne Substitution! :)
Student, Punkte: 2.6K
cos²(2x)= 1-4sin²(x)+4sin⁴(x)
Wenn man die nutzt ist der Ansatz mit der Substitution der richtige
─ eigenvector 23.06.2019 um 21:56