Gleichungen lösen

Aufrufe: 1009     Aktiv: 21.10.2020 um 01:35
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Hallo Leute, ich habe wieder Schwierigkeiten bei den Aufgaben. 

Ich muss diese Logarithmusgleichungen lösen ohne die pq Formel und zwar 0 addieren.

Ich hab mal versucht zu rechnen, aber richtig siehts mal nicht aus. Ich danke für jede Antwort!

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Moin anonym.

\(i)\) Hier sind beide Vorgehen falsch. Beim Ersten kannst du nicht einfach \(\log_4\) weglassen, nur weil das in allen Summanden steht eben weil das eine Summe ist. Beim Zweiten Rechenweg passiert der Fehler beim gleichen Schritt. Wenn du auf der rechten Seite den \(\log_4\) auflöst bleibt \(3^{-1}\) und nicht \(-3\) übrig. Ich empfehle dir hier direkt im ersten Schritt Logarithmusgesetze anzuwenden und die Terme auf der rechten Seite zusammen zu fassen.

\(j)\) Unter Berücksichtigung des Definitionsbereiches stimmt die Lösung hier. Rechnerisch kommt natürlich auch noch \(x=-5\) heraus, was aber nicht in \(\mathbb{D}\) liegt.

\(k)\) Stimmt, super!

\(g)\) Hier hast du vergessen die Wurzel aus \(25\) zu ziehen. Das Vorgehen an sich ist gut. Außerdem ist \(16x^2-32x+16=17x^2-38x\neq 0\) (das ist einfach hier falsch notiert).

\(h)\) Hier ist schon die erste Umformung komplett falsch. Die Lösung hier kannst du dir am besten logisch überlegen.

 

Grüße

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Danke! Aber ich hab mir die Gesetze schon ziemlich oft angeschaut. Ich versteh´nicht wann genau ich diese regeln anwenden soll/muss. soll ich die Argumente in den klammern in eine Multiplikation umwandeln?
Mich verwirrt das grad voll. Können wir mal die i) gemeinsam rechnen?   ─   anonym 20.10.2020 um 23:48
Oder soll ich alle log. auflösen?   ─   anonym 20.10.2020 um 23:49
Damit du den Logarithmus auf beiden Seiten einfach so weglassen kannst, darf auf beiden Seiten jeweils nur ein \(\log\) stehen.
Ersteinmal solltest du, wie auch schon @3des vorgeschlagen hat, die beiden \(\log_4\) auf der rechten Seite zusammenfassen:
\(\log_4 (2x+1)=\log_4 (x+2)-\log_4 (3)\)
\(\Leftrightarrow \log_4 (2x+1) = \log_ 4 \left( \frac{x+2}{3}\right)\)
Jetzt dürfen wir, weil auf beiden Seiten genau einmal \(\log\) zu gleichen Basis steht, den Logarithmus weglassen. Mathematisch formal ist das:
\(\Leftrightarrow 4^{\log_4 (2x+1) } = 4^{\log_ 4 \left( \frac{x+2}{3}\right)}\)
\(\Leftrightarrow 2x+1 = \frac{x+2}{3}\)
Jetzt kannst du weiter auflösen.   ─   1+2=3 20.10.2020 um 23:55
Und wie funktioniert das mit der Umkehrfunktion von Log? Wenn man zb. log5(x) hat, dann ist die Umkehrung b^log5(x) oder?   ─   anonym 21.10.2020 um 00:26
Was genau meinst du mit Umkehrung in diesem Zusammenhang?   ─   1+2=3 21.10.2020 um 00:27
Also du hast ja 4^log4(2x+1) hingeschrieben. Ist das die Umkehrung? ich hab das nie verstanden. Ist das Auflösen von Logarithmen?   ─   anonym 21.10.2020 um 00:32
Ich kenne eigentlich alle gesetzt bis auf das mit 4^log4. Ich weiß, dass wir die Logarithmen auflösen müssen und deswegen log4^(2x+1) nehmen. Jetzt ist es schon bisschen klarer geworden mit der Regel.
Ich wollte mir videos dazu anschauen, aber habe nie welche gefunden, die genau diese Regel hier beschreiben. Also 4l^log4(2x+1)   ─   anonym 21.10.2020 um 00:36
Also meine Frage ist wie sind wir auf dieses gesetz gekommen: 4^log4(2x+1)?   ─   anonym 21.10.2020 um 00:40
Ja genau, das ist die Umkehrung. Allgemein gilt für einen beliebigen Logarithmus zu Basis \(a\):
\(a^{\log_a (x)}=x\)
\(x\) ist dabei beliebig, kann also auch eine Funktion o.Ä. sein. Das solltest du dir auf jeden Fall merken.
Und jetzt siehst du vielleicht auch, weshalb dein Vorgehen nicht geklappt hat: \(4^{\log_4(x)+\log_4(y)+\dots}= x\cdot y \cdot \dots \neq x+y+\dots\)   ─   1+2=3 21.10.2020 um 00:40
Das an sich ist kein Gesetz. Ein Gesetz ist, dass \(4^{\log_4(2x+1)}=2x+1\). Das folgt unmittelbar aus der Definition des Logarithmus.   ─   1+2=3 21.10.2020 um 00:42
achso, okay. Ja, daran hat´s gescheitert. Ich wusste nicht wie man die Logarithmen auflöst. Kannst du mir vielleicht ein Video empfehlen, wo explizit diese Regel erklärt wird? Oder reicht es wenn ich mir merke, dass ich immer für den Logarithmus zu Basis a -> a hoch loga(x) nehmen muss, um log. aufzulösen?   ─   anonym 21.10.2020 um 00:56
Ach, und noch was. Ich muss auch noch die Definitionsmenge bestimmen. Soll ich einfach von 2x+1>0 und x+2/3 > 0 ausgehen? also nach x umformen und schauen, dass x größer ... ist?   ─   anonym 21.10.2020 um 01:02
Ein Video dazu direkt habe ich nicht gefunden. Sich das zu merken ist natürlich nützlich, aber das zu verstehen ist noch wichtiger.
\(\log_a(x)\) liefert dir per Definition ja die Zahl, hoch die man \(a\) nehmen muss, damit \(x\) heraus kommt. Wenn wir nun aber \(a^{\log_a(x)}\) rechnen, nehmen wir \(a\) hoch die Zahl, hoch die wir \(a\) nehmen müssen, damit \(x\) heraus kommt. Somit kommt auch \(x\) heraus.
Der Logartihmus ist nur für positive reelle Zahlen definiert. Somit müssen Basis und Argument positiv und reell sein. Dein Ansatz mit dem Umformen nach \(x\) ist also richtig. Natürlich musst du aufpassen, wenn sich die Werte überschneiden.   ─   1+2=3 21.10.2020 um 01:09
Ist schon vieeel verständlicher, dankeschön! Aber warum kommen wir so auf die x? Gibts da eine Rechnung, wo gezeigt wird, dass x herauskommt, wenn ich a hoch die Zahl, hoch die man a nehmen muss, damit x herauskommt. Also ein Beweis oder eine Rechnung wo man genau auf die x kommt?

für i) habe ich als Lösung x=-1/5 und Def.menge=(-1/2, plus unendlich), also ist -1/5 in D enthalten.   ─   anonym 21.10.2020 um 01:22
Das ist wie gesagt meines Erachtens nach einfach eine direkte Folge der Definition des Logarithmus und so kenne ich auch keinen Beweis, da es eben so definiert wurde. Vielleicht hat da ja aber jemand anderes, der sich die ganzen Kommentare hier durchließt noch eine bessere Idee.
Der Definitionsbereich schaut super aus.
Hast du sonst noch Fragen? Ansonsten ruft langsam das Bett... ;D   ─   1+2=3 21.10.2020 um 01:27
Super, vielen vielen Dank :) das hat mir sehr geholfen. Bin froh, dass ich es endlich verstanden habe. Danke für deine Geduld!
Mach´s gut und gute nacht.   ─   anonym 21.10.2020 um 01:32
Immer wieder gerne! Freut mich, dass ich helfen konnte! Gute Nacht!   ─   1+2=3 21.10.2020 um 01:35

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Die "Gesetze" die Du bei f) anwendest, existieren nicht, Du kannst das nicht wie beim ersten Ansatz auflösen indem Du einfach die Logarighmen weg läßt: \(4^{log_4(x+2)-log_4(3)}\) ist nicht identisch mit \(x+2-3\)

Der zweite Lösungsweg ist fast richtig, Da machst Du aber einen ähnlichen Fehler, das "-" vor dem Logarithmus kannst Du nicht einfach stehen lassen. Du mußt das "-" in den Logarithmus bringen \(-log_4 3 = log_4 (3^{-1}) = log_4 \frac{1}{3}\), so käme auch das richtige Ergebnis von \(x=-\frac{1}{5}\) raus.

Die restlichen Aufgaben hab ich mir nicht angeschaut, vermute da aber mal ähnliche Probleme. Ich würde Dir empfehlen, schau Dir die Logarithmengesetze nochmal genau an, udn spiel mal ein wenig damit rum, die sind nicht schwer, aber man benötigt ein wenig Übung.

Viel Erfolg!

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Aber ich muss hier nur die Argumente beachten. Wir haben das anders gerechnet, indem wir angenommen haben, dass die Argumente größer 0 sind. Dann muss ich auf beiden Seiten die gleiche basis wählen und anschließend dann die Argumente gleich setzen.   ─   anonym 20.10.2020 um 23:17
Wenn ich Dich richtig verstehe, hast Du prinzipiell schon die richtige Idee im Kopf, das Gleichsetzen kannst Du aber nicht einfach so annehmen, da steckt ja Mathematik dahinter. Die Mathematik dahinter ist, daß Du beide Seiten \(4^x\) rechnest denn das hebt den \(log_4(x)\) auf (ist nicht korrekt ausgedrückt, ich hoffe aber, Du verstehst, was ich damit sagen will). Das kannst Du aber nicht sinnvoll machen, wenn auf einer Seite mehr als ein Logarithmus steht. Du mußt dafür die Logarithmen mit den Logarithmengesetzen zusammenfassen.
Hättest Du bei f) die rechte Seite z.B. so umgeformt \(log_4(x+2)-log_4(3)=log_4(\frac{x+2}{3})\), dann würde das funktionieren.   ─   3des 20.10.2020 um 23:26

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