Es geht hier um den relativen Fehler in einer Eingabegröße im Vergleich zur Ausgabegröße.

Eingabe: \(\hat z\) (Näherungswert zum exakten Wert \(z\), behaftet also mit relativem Fehler \(\frac{\|z-\hat z\|}{\|z\|}\)).

Ausgabe nach Funktionsauswertung mit der Funktion \(f\): \(f(\hat z)\), exakter Wert wäre \(f(z)\), also relativer Fehler wie auf der l.S. der Ungleichung oben.

Es geht nun um Fehlerfortpflanzung - wie ist der Fehler NACH Funktionsauswertung im Vergleich zu VORHER. Und man betrachtet die beiden relativen Fehler NACHHER zu VORHER.

Der Verstärkungsfaktor ist die Konditionszahl, hier die relative.

Man hätte gerne, dass diese klein ist. Schlecht konditioniert sind Funktionsauswertungen mit \(\kappa_{rel}\) viel größer als 1. Lässt sich nicht immer vermeiden, aber gut ist, wenn man's dann weiß.

Ist es nun klar(er)?