Question

Gleichverteilung von zwei unabhängigen Teilmengen von $\Omega$

Aufrufe: 494 Aktiv: 27.02.2021 um 17:44

0

Sei $\Omega = \{1,2, ..., n\}$ für $n \in \mathbb{N}$. Auf der Menge $\Omega$ ist eine Gleichverteilung mit $P[\{k\}] = \frac{1}{n}$ definiert.

Nun soll ich zeigen, dass die folgenden zwei Aussagen equivalent sind.

(i) Die Zahl $n$ ist eine Primzahl

(ii) Für alle unabhängigen Teilmengen $A, B \subseteq \Omega$ gilt, dass eine der beiden Mengen entweder leer ist oder die gesamte Grundmenge $\Omega$ ist.

Meiner Meinung nach stimmt (ii) aber auch wenn $n$ keine Primzahl ist. Was mache ich falsch?

Teilen Diese Frage melden

gefragt 26.02.2021 um 16:27

hermionestranger
Student, Punkte: 140

Kommentar schreiben

1 Antwort

stal · Accepted Answer · 2021-02-26T16:53:56Z

1

Streng genommen ist die Aussage (ii)$\Rightarrow$(i) falsch, wegen $n=1$. Fordert man aber $n>1$, ist die Aussage wahr.
Ist z.B. $n=4$ nicht prim und $A=\{1,2\},B=\{1,3\}$, dann ist $P(A)P(B)=\frac14=P(A\cap B)$, also sind $A,B$ unabhängig, obwohl weder $A$ noch $B$ leer oder ganz $\Omega$ sind. Das ist also ein Gegenbeispiel dazu, dass (ii) immer gilt. Wenn du ein bisschen nachdenkst, findest du mit dem gleichen Prinzip ähnliche Beispiele für alle zusammengesetzten Zahlen. Damit hast du (ii)$\Rightarrow$(i) gezeigt. Hast du für (i)$\Longrightarrow$(ii) eine eigene Idee?

Teilen Diese Antwort melden Link

geantwortet 26.02.2021 um 16:53

stal
Punkte: 11.27K

Damit A und B unabhängig sein können muss bei $\frac{i}{n} \frac{j}{n} = \frac{k}{n}$ mit $i = |A|, j = |B| und k = |A \cap B|$, für das Produkt $i \cdot j$ eine Zerlegung existieren damit $n$ durch ein Element dieser Zerlegung geteilt werden kann, sonst kann man den Bruch nicht kürzen und die Gleichung stimmt nicht.
Da $n$ eine Primzahl ist, kann ein solches Element nur $1$ oder $n$ sein. Wenn es $n$ ist, muss entweder $A$ oder $B$ die Kardinalität $n$ haben und somit gleich der gesamten Grundmenge sein. Im Falle von $1$ stimmt die Gleichung dann aber nicht.

Im Fall der leeren Menge erhält man mit $|\emptyset| = 0$ direkt $0 = 0$ und die $A$ und $B$ sind unabhängig.

Damit muss für $A$ oder $B$ gelten dass die Kardinalität entweder null oder $n$ ist und das gilt nur wenn sie entweder leer oder die gesamte Grundmenge sind.

Passt das? ─ hermionestranger 26.02.2021 um 18:03

1

Ja, das passt. ─ stal 26.02.2021 um 18:04

Ist $(ii) \implies (i)$ nicht auch im Fall $n = 0$ falsch? Denn mit $A = \emptyset$ hat man ja $P[A] \cdot P[B] = P[A \cap B] \implies \frac{0}{m} \cdot \frac{|B|}{m} = \frac{|\emptyset|}{m}$ und das gilt ja unabhängig von $m$ ─ hermionestranger 27.02.2021 um 13:49

Du kannst auf $\Omega=\emptyset$ kein Wahrscheinlichkeitsmaß definieren, da du nie eine Normierung erreichen kannst. Deshalb ist der Fall gar nicht definiert. ─ stal 27.02.2021 um 14:00

$A$ ist aber ja nur eine Teilmenge von $\Omega$ und $P[\emptyset] = 1 - P[\emptyset ^C] = 1 - P[\Omega] = 1 - 1 = 0$ oder? ─ hermionestranger 27.02.2021 um 14:06

Ah nevermind, n ist laut Aufgabe $\geq 1$ ─ hermionestranger 27.02.2021 um 14:21

Aber ich wollte eigentlich Ist $(ii) \implies (i)$ nicht auch im Fall $|A| = 0$ falsch? Denn mit $A = \emptyset$ hat man ja $P[A] \cdot P[B] = P[A \cap B] \implies \frac{0}{m} \cdot \frac{|B|}{m} = \frac{|\emptyset|}{m}$ und das gilt ja unabhängig von $m$, schreiben. ─ hermionestranger 27.02.2021 um 14:23

Du darfst dir $A$ nicht aussuchen. Da steht ja: Für alle $A,B$ ... Nur weil also für ein bestimmtes $A$ die Eigenschaft gilt, heißt das ja noch nicht, dass es auch für alle $A$ gilt. ─ stal 27.02.2021 um 14:30

Die Aussage ist doch aber $A = \emptyset$ oder $A = \Omega$ $\implies n$ ist eine Primzahl für alle $A, B \subseteq \Omega$. Wenn das für $A = \emptyset$ nicht gilt ist das noch doof. ─ hermionestranger 27.02.2021 um 14:33

Nein, die Aussage ist $$(\forall A,B\subseteq\Omega : A,B\text{ unabhängig }\Longrightarrow \{A,B\}\cap\{\emptyset,\Omega\}\neq\emptyset)\Longrightarrow n\text{ ist prim.}$$ Das heißt, nur wenn die Aussage für jedes $A$ und jedes $B$ gilt, muss $n$ prim sein. ─ stal 27.02.2021 um 14:40

Ich checks doch nicht mehr und habe noch eine Follow-Up-Frage gepostet: https://www.mathefragen.de/frage/q/6aa299e14d/gleichverteilung-von-zwei-unabhangigen-teilmengen-von-omega-follow-up/?newquestion=1 ─ hermionestranger 27.02.2021 um 17:44

Kommentar schreiben

Gleichverteilung von zwei unabhängigen Teilmengen von \(\Omega\)

1 Antwort