Question

Verständnis und Definition von Mehrdimensionale Analysis

Aufrufe: 400 Aktiv: 18.07.2021 um 13:04

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Sei f:D⊂ℝn→ℝ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und für z∈D gelte ∇f(z)=0. Dann gilt:

1-> Sind alle Eigenwerte von Hf(z) negativ, so hat f ein lokales Maximum in z.

2-> Ist Hf(z) positiv definit, so hat f ein globales Minimum in z

3-> Falls x^⊤Hf(z)x>0 für jedes x∈ℝn, so hat f ein lokales Minimum in z

4-> Sei n=2, d.h. f sei eine Funktion von zwei Variablen x1,x2∈ℝ. Dann hat f ein lokales Maximum in z, falls die Determinante von Hf(z) positiv ist und darüber hinaus (∂^2Hf)/(∂x1^2) (z)<0 gilt.

5-> Aus einer Semidefinitheit von Hf(z) kann keine Aussage über die Eigenschaften des kritischen Punktes abgeleitet werden.

6-> Ist Hf(z) negativ definit, so hat f ein lokales Minimum in z

7-> Ist Hf(z) indefinit, so hat f einen Sattelpunkt in z

8-> Falls x^⊤ Hf(z)x≤0 für jedes x∈ℝn, so hat f ein lokales Maximum in z

Kann mir da jemand helfen?

Es sei f : Rn −→ R zweifach stetig differenzierbar und grad(f)(a) = (0, . . . , 0).

Ist die Hesse-Matrix Hf(a) positiv definit, so hat f in a ein lokales Minimum.
Ist die Hesse-Matrix Hf(a) negativ definit, so hat f in a ein lokales Maximum.
Ist die Hesse-Matrix Hf(a) indefinit, so ist a ein Sattelpunkt von f und keine Extremstelle.

das habe ich aus dem skript
bei der obrigen Aufgabe hätte ich somit 7 aufjeden Fall angekreuzt
aber bei dem rest weis ich es nicht bzw. kann ich mit den antworten nichts so richtig anfagen.
auch durch rumprobieren kam ich nicht zu einem richtigen Ergebnis, was aber nicht die richtige Herangehensweise ist.

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gefragt 18.07.2021 um 12:46

mathebob
Student, Punkte: 10

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1 Antwort

mikn · Answer 1 · 2021-07-18T13:04:16Z

Nur mit dem Lesen von a),b),c) solltest nur mehr als nur 7. klären können.
Für die anderen Punkte musst du die Def. von positiv/negativ definit nachschlagen und Dich damit auseinandersetzen. Und die Verbindung zu Eigenwerten aufklären. Ziel der Aufgabe ist das Verständnis zu vertiefen, nicht irgendwelche richtigen oder falschen Häkchen zu finden.
Und rumprobieren ist durch ein sinnvolles Herangehen - einfache Beispiele nachschlagen bzw. selbst nachrechnen.
Und bei math. Sätzen wie a),b), c) kann man davon ausgehen, dass sie "scharf" formuliert sind. D.h. 1. aus den genannten Voraussetzungen kann allgemein nicht mehr als das angegebene geschlossen werden, und 2. um das angegebene zu schließen reichen weniger Voraussetzungen nicht aus. Damit kannst Du also die meisten Häkchen klären, aber wie gesagt, das ist nicht Ziel der Aufgabe.