Hallo,
für die Ableitung einer Funktion \(f(x):=a^{g(x)}\) lautet die Ableitung: \(f'(x)=a^{g(x)}\cdot g'(x) \cdot \ln(a)\)
Daher ist die Ableitung von \(e^x\) immer gleich. \([e^x]' = e^x \cdot [x]' \cdot \ln(e) = e^x\cdot 1 \cdot 1 = e^x\)
Bei \( \left (\dfrac{2}{3} \right )^x\) lautet die Ableitung demnach \(\left (\dfrac{2}{3} \right )^x \cdot 1 \cdot \ln\left ( \dfrac{2}{3} \right ) = \left (\dfrac{2}{3} \right )^x \ln \left (\dfrac{2}{3} \right )\).
Eine andere Möglichkeit wäre die Basenumwandlung zur Basis \(e\).
Es gilt: \(a^x \equiv b^{x \cdot \log_b(a)}\)
Somit gilt \( \left (\dfrac{2}{3} \right )^x \equiv e^{x \cdot \ln \left (\frac{2}{3}\right )}\)
Das Ergebnis ist aber wieder das gleiche.
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