Lokale Extreme bei mehrvariablen Funktionen

Aufrufe: 562     Aktiv: 04.09.2020 um 08:09
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Es sind lokale Extrema bei der folgenden Funktion zu finden:

\( z(x,y) = e^x*(2x+y^2) \)

Reicht es für die Aufgabenstellung "lokale Extrema", die notwendige Bedingung zu erfüllen oder muss ich die hinreichende Bedingung ebenfalls prüfen?

Notwendige Bedingung: \( f_{x}=f_{y}=0 \)

Hinreichende Bedingung  \( f_{xx}*f_{yy}-f_{xy}^2>0 \)

Mir geht es gerade rein um formelle Dinge der Aufgabenstellung. Ich erhalte durch Umstelleun und Einsetzen der partiellen Ableitungen als Extremwert ein Minimum bei \( E(-1;0) \).

Danke  \( :) \)

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Die hinreichende Bedingung musst du ebenfalls prüfen, da dir die notwendige nur Kandidaten für Extrema liefert, sogenannte kritische Punkte. Da kann es aber immer noch ein Sattelpunkt sein, was kein Extrempunkt ist (In dem Fall wäre fxx*fyy-fxy^2 < 0).

Gilt in dem kritischen Punkt fxx * fyy - fxy^2 > 0, kommt es noch auf fxx an. fxx > 0 => Minimum, fxx < 0 => Maximum.

Deine Lösung stimmt somit :)

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