Man überlegt sich nicht vorher, was man braucht. Man rechnet einfach los (aber richtig). Wenn am Ende eine (oder mehrere) Nullzeile bleibt, kann man Variablen frei wählen. Es geht ganz genauso wie in $\mathbb{R}$.
In Deiner 3. Zeile ist ein Fehler.
Die 3. Zeile lautet: $1\;0\;2\; | 2 \longrightarrow 0\;2\;1\; | 2 \longrightarrow 0\;0\;0\; | 0$. Also Nullzeile, also unterbestimmt.
Die von Dir gefundene Lösung (Du hast sicherlich die Probe gemacht?) ist eine Lösung, aber es gibt noch weitere.
Die Wahl $y=2$ führt auf Deine Lösung, die anderen möglichen Wahlen ($y=1, y=0$) auf zwei weitere. Probe nicht vergessen.