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Mein Ansatz wäre der Folgende:
Wir machen zunächst eine Vorüberlegung und zeigen, dass das Zentrum der Gruppe \(G\) nicht nur aus dem neutralen Element besteht. Dazu betrachten wir auf \( G \) die Äquivalenzrelation
\( x \sim y \) \( \Leftrightarrow \) \( y = g^{-1}xg \) für ein \( g \in G \).
Die Äquivalenzklasse eines Elements \( x \) ist die Konjugationsklasse \( C(x) = \{ g^{-1}xg \ \vert \ g \in G \} \). Sie ist offensichtlich genau dann einelementig, wenn \( x \) im Zentrum von \( G \) liegt. Die Vereinigung der einelementigen Konjugationsklassen ist also genau \( Z(G) \). Ist nun \( x_1, \dots, x_r \) ein Vertretersystem derjenigen Konjugationsklassen, die nicht einelementig sind, dann gilt
\( p^2 = \vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{i=1}^r \vert C(x_i) \vert \).
Wenn wir nun zeigen könnten, dass alle \( \vert C(x_i) \vert \) durch \( p \) teilbar sind, dann würde aus dieser Gleichung folgen, dass auch \( \vert Z(G) \vert \) durch \( p \) teilbar sein müsste. Demnach könnte, wie gewünscht, \( Z(G) \) nicht nur aus dem neutralen Element bestehen.
Um einzusehen, dass tatsächlich alle \( \vert C(x_i) \vert \) durch \( p \) teilbar sind, betrachtet man die Operation
\( G \times G \to G, (g,x) \mapsto g^{-1}xg \)
von \( G \) auf sich selbst und wendet die Bahnformel an.
Nun kommen wir zum eigentlichen Beweis. Nach dem Satz von Lagrange kann ein Element \( g \in G \), das nicht das neutrale Element ist, nur die Ordnung \(p\) oder \(p^2\) haben.
Der Fall, in dem es ein Element von Ordnung \( p^2 \) gibt, ist einfach. Stichwort: Zyklische Gruppe.
Im anderen Fall gibt es nach unserer Vorüberlegung ein Element \( g \in Z(G) \), das nicht das neutrale Element ist. Wir wählen nun ein \( h \in G \), das nicht in der von \( g \) erzeugten Untergruppe liegt. Man überlegt sich nun, dass
\( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \to G, ([m],[n]) \mapsto g^mh^n \)
ein Guppenisomorphismus ist. (Die Wohldefiniertheit ist klar, weil gemäß Fallunterscheidung \( g \) und \( h \) die Ordnung \( p \) haben).
Wir machen zunächst eine Vorüberlegung und zeigen, dass das Zentrum der Gruppe \(G\) nicht nur aus dem neutralen Element besteht. Dazu betrachten wir auf \( G \) die Äquivalenzrelation
\( x \sim y \) \( \Leftrightarrow \) \( y = g^{-1}xg \) für ein \( g \in G \).
Die Äquivalenzklasse eines Elements \( x \) ist die Konjugationsklasse \( C(x) = \{ g^{-1}xg \ \vert \ g \in G \} \). Sie ist offensichtlich genau dann einelementig, wenn \( x \) im Zentrum von \( G \) liegt. Die Vereinigung der einelementigen Konjugationsklassen ist also genau \( Z(G) \). Ist nun \( x_1, \dots, x_r \) ein Vertretersystem derjenigen Konjugationsklassen, die nicht einelementig sind, dann gilt
\( p^2 = \vert G \vert = \vert Z(G) \vert + \sum_{i=1}^r \vert C(x_i) \vert \).
Wenn wir nun zeigen könnten, dass alle \( \vert C(x_i) \vert \) durch \( p \) teilbar sind, dann würde aus dieser Gleichung folgen, dass auch \( \vert Z(G) \vert \) durch \( p \) teilbar sein müsste. Demnach könnte, wie gewünscht, \( Z(G) \) nicht nur aus dem neutralen Element bestehen.
Um einzusehen, dass tatsächlich alle \( \vert C(x_i) \vert \) durch \( p \) teilbar sind, betrachtet man die Operation
\( G \times G \to G, (g,x) \mapsto g^{-1}xg \)
von \( G \) auf sich selbst und wendet die Bahnformel an.
Nun kommen wir zum eigentlichen Beweis. Nach dem Satz von Lagrange kann ein Element \( g \in G \), das nicht das neutrale Element ist, nur die Ordnung \(p\) oder \(p^2\) haben.
Der Fall, in dem es ein Element von Ordnung \( p^2 \) gibt, ist einfach. Stichwort: Zyklische Gruppe.
Im anderen Fall gibt es nach unserer Vorüberlegung ein Element \( g \in Z(G) \), das nicht das neutrale Element ist. Wir wählen nun ein \( h \in G \), das nicht in der von \( g \) erzeugten Untergruppe liegt. Man überlegt sich nun, dass
\( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \to G, ([m],[n]) \mapsto g^mh^n \)
ein Guppenisomorphismus ist. (Die Wohldefiniertheit ist klar, weil gemäß Fallunterscheidung \( g \) und \( h \) die Ordnung \( p \) haben).
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