Integral einer Exponentialfunktion und Produkt

Aufrufe: 570     Aktiv: 16.04.2020 um 14:40
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Folgendes unbestimmtes Integral soll gebildet werden: \( \int x^2  \cdot e^{7x} dx\)
Darin erkenne ich ein Produkt (> Produktregel) und eine Möglichkeit zur Substitution (\(e^{7x}\) => \(g(x)=7x\)). Mir ist nur nicht klar welche Reihenfolge man einschlägt oder ob man da jetzt überhaupt beides macht. Ich hab mit beidem begonnen aber komme nicht auf das korrekte Ergebnis.

 

 

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Ich glaube, mit dem Produkt kommt man weiter. Für Integrale gibt es aber keine Produktregel, sondern stattdessen die Methode der partiellen Integration. Vielleicht meinst du diese, sie wird manchmal auch Produktintegration genannt. Die Substitution für 7x braucht man auch, das läuft aber meist unter "lineare Substitution" bzw. "lineare Verkettung" und geht ohne explizite Substitution: Man bildet die Stammfunktion der äußeren Funktion und dividiert noch durch den linearen Faktor der inneren Funktion. Allgemein:

Ist `f(x) = h(mx+c)`, dann ist `F(x) = H(mx+c) *1/m` eine Stammfunktion von `F`, wobei `H` eine Stammfunktion von `h` ist.

Beispiel: Ist `f(x) = e^(7x +5)`, so ist `F(x) = e^(7x+5) *1/7` eine Stammfunktion. Das kannst du für deine Funktion benutzen für den zweiten Faktor, wesentlich ist hier aber die partielle Integration

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Und meine Frage zur Reihenfolge. Womit fängt man an: Erst Substituieren oder erst partielle Integration? Ist das egal?   ─   n00b 16.04.2020 um 10:07
Mit partieller Integration, da die Substitution nur den zweiten Faktor betrifft. Die Substitution benutzt du dann, wenn du den zweiten Faktor integrieren musst.   ─   digamma 16.04.2020 um 10:27
Das mit der Substitution habe ich jetzt zwar nicht verstanden, aber ich habs hinbekommen indem ich einfach drei mal partiell Integriert habe. Danke also sehr für den Hinweis!   ─   n00b 16.04.2020 um 14:39

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