Ich denke, man soll zu gegebenem \(\varepsilon>0\) ein entsprechendes \(\delta\) explizit angeben. Betrachten wir, wie Du schon sagtest, \(x\in(x_0-1,x_0+1)\). Klammere aus: \[|2^x-2^{x_0}|=2^{x_0}|2^{x-x_0}-1|=2^{x_0}|\exp((x-x_0)\log 2)-1|.\] Den Rest kannst Du jetzt mit der Exponentialreihe lösen. Tipp: Zeige zuerst für \(r\in(0,1]\):\[\frac{\mathrm{e}^r-1}{r}\le\mathrm{e}-1.\]
Melde Dich wieder, wenn Du die Rechnung nicht zuende bringen kannst.
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