Hallo liebe Mathefragen-Community,

ich habe da mal eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

In Aufgabe 2.2 sollte gezeigt werden, dass die Funktion \(h(x)=(1+x)^{\alpha}\) für \(\alpha \in \mathbb{R}\) analytisch in einer Umgebung von \(x_0=0\) ist. Die Teilaufgaben (1) und (2) habe ich bereits gelöst. Nun stellt sich mir die Frage, inwieweit mir die Funktion \(k(x)\) nun helfen soll zur Lösung zu kommen. Ich habe mir überlegt, wie man (2) benutzen kann. Dazu habe ich \(k(x)\) mit Produktregel abgeleitet um dann die (2) verwenden zu können:
\[k'(x)=-\alpha(1+x)^{-(\alpha+1)}\cdot P(x)+(1+x)^{-\alpha} \cdot P'(x)\overset{(2)}{=}-\alpha(1+x)^{-(\alpha+1)}\cdot P(x)+(1+x)^{-\alpha} \cdot \dfrac{\alpha}{1+x} \cdot P(x)=0\]
Ist mein Ansatz richtig? Wenn die Ableitung von \(k(x)\) Null ist muss doch \(k(x)\) eine konstante Funktion sein oder? Eine Funktion \(f(x)\) heißt ja analytisch in \(x_0\), wenn es ein \(\delta>0\) gibt, so dass \(f(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k} \in \quad  ]x_0-\delta ,x_0+\delta[\). Wenn \(k(x)\) also konstant ist, muss doch \(h(x)=(1+x)^{\alpha}\) sich genau als \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k}\) mit \(a_k=\binom{\alpha}{k}\) darstellen lassen. Dann wäre \(h(x)\), weil \(k(x)\) konstant ist, nach (1) für \(\delta=1\) in \(x_0=0\) analytisch. Stimmt das? Falls nicht, wäre ich über einen passenden Lösungsansatz dankbar.


MfG