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Was steht im Satz aus der Vorlesung genau über f und y? Beachte genau Definitions- Wertebereich von f und die Dimension von y. Das muss genau geprüt werden, wenn man den Satz hier verwenden will.
Ich verstehe die Aufgabe so, dass es um 2d-Invertierbarkeit geht, es ist ja auch von einem Punkt (0,0) die Rede, also an einem 2d-Punkt. D.h. wir reden hier von zwei Variablen. Bilde also die Jacobi-Matrix mit beiden Funktionen und beiden Ableitungen, das gibt eine 2x2-Matrix.
Ich verstehe die Aufgabe so, dass es um 2d-Invertierbarkeit geht, es ist ja auch von einem Punkt (0,0) die Rede, also an einem 2d-Punkt. D.h. wir reden hier von zwei Variablen. Bilde also die Jacobi-Matrix mit beiden Funktionen und beiden Ableitungen, das gibt eine 2x2-Matrix.
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mikn
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Ich bin ein Trottel... Die Aufgabenstellung ist so 1 zu 1 wiedergegeben, aber mit dem Satz hast du vollkommen recht. Aus dem Satz über Umkehrfunktionen folgt:
$Df= \begin{pmatrix} 6x^2-3 & 3y^2+1 \\ 4x^3+5 & 16y^3+8 \end{pmatrix}$
$Df(0,0)= \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ und $det\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = -29 \neq 0$
Damit ist das invertierbar.
─ laura22 04.06.2022 um 12:13
$Df= \begin{pmatrix} 6x^2-3 & 3y^2+1 \\ 4x^3+5 & 16y^3+8 \end{pmatrix}$
$Df(0,0)= \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$ und $det\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = -29 \neq 0$
Damit ist das invertierbar.
─ laura22 04.06.2022 um 12:13
Ähm ja klar, da hab ich mich vertippt, kommt aufs selbe heraus. Dank für den Tipp mit LateX, den kannte ich noch nicht.
─
laura22
04.06.2022 um 14:35
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.
Ich versuche den Satz mit den Voraussetzungen wiederzugeben:
Seien \( U_{1} \subset \mathbb{R}^{k} \) und \( U_{2} \subset \mathbb{R}^{m} \) offene Teilmengen und
\(F: U_{1} \times U_{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{m}, \quad(x, y) \mapsto F(x, y),\)
eine stetig differenzierbare Abbildung.
Ist
$$\frac{\partial F}{\partial y}:=\frac{\partial\left(F_{1}, \ldots, F_{m}\right)}{\partial\left(y_{1}, \ldots y_{m}\right)}:=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}
\end{array}\right) $$ invertierbar im Punkt $(a,b)$, so ist es auch invertierbar in einer Umgebung von $(a,b)$.
Deine Anmerkung, bzgl der 2d-invertierbarkeit hat mich auch irritiert. Habe deshalb nochmal nachgefragt und es sollte korrekt heißen: Ich soll zeigen, dass die Funktion $f(x,y)$ in einer Umgebung $U$ um $0$ invertierbar ist.
Die Voraussetzungen vom Satz scheinen mir erfüllt. Dieser fordert allerdings nur die Ableitung in $y$-Richtung. Da weiß ich um ehrlich zu sein nicht, wie ich da die Jacobi-Matrix verwenden sollte, da müsste ich ja auch in $x$- und $x$-$y$- Richtung ableiten.
LG ─ laura22 03.06.2022 um 21:52