Du betrachtest, wie posix schon angedeutet hat, ein Integral. Das geht allerdings über die obere Halbene $H=\{(y_1,y_2,y_2) \in \mathbb{R}^3 \mid  y_3 > 0  \}$. Deine Ladungsdichte ist, wie du richtig gesagt hast,

$$\rho=p\delta(x-a)$$ und somit gilt es das Integral (über die Halbene!!!)

$$p\int_H G(x,y) \delta(y-a)dy$$

zu vereinfachen. Du hast es im Grunde schon gesagt, aber eben $x$ und $y$ vertauscht.

Jetzt gilt es nur noch im geeigneten Sinne  

$$  \Delta \phi(x)= \Delta \bigg(\frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \big(  \frac{1}{|x-a|}-\frac{1}{|x-a_s|} \big)  \bigg)=-\frac{-\delta(x-a)}{\epsilon_0}$$ 

zu berechnen bzw. zu verifizieren. Ab hier wird es nochmal etwas fishy, wenn du nicht deine Ergebenisse aus der Vorlesung zitieren darfst. Für $x \neq a$ gilt sicherlich $$ \Delta \phi(x)=0 $$

und wir sind fertig. Für $x=a$ musst du in einer Kugel mit Radius $\delta>0$ beliebig klein zeigen, dass 

$$ \lim_{\delta \to 0}\int_{B_{ \delta} \cap H} \Delta \phi(y) g(y)dy=g(a)$$

für eine genügend glatte Funktion $g$. Das geht schon zu Fuß mit partielle Integration und in dem man sich $\nabla \phi$ und Einheitsnormalen der Kugel genau anschaut und nutzt Lebesgue Punkt Eigenschaften nutzt, ist aber aufwendig. Als Physiker gibt es vielleicht auch einen weniger formalen Weg, der als Argument akzeptiert wird und auch völlig ausreichend ist.

Elegantere Lösungen und Argumentationen existieren, wenn man entsprechendes Wissen und Herleitungen zitieren darf. Lass mich dir eine ohne komplizierere Rechnung zeigen. In dem man - zum Beispiel - kurz zeigt, dass 

$$\frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{|x-a|}=\frac{p}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{|x-a_s|}$$

auf $\partial H$, also dem Rand der oberen Halbene. Hierbei erkennen wir, bis auf einen Vorfaktor, dass die linke Seite der Gleichung die fundemtale Lösung $\Phi$ der Laplacegleichung im ganzen $\mathbb{R}^3$ ist. Weiterhin müssen wir noch zeigen, dass 

$$\Delta \frac{p}{4 \pi \epsilon} \frac{1}{|x-a_s|}=0$$

ist, was aber kein Problem ist, da der Fall $x=a_s$ für $x \in H$ niemals eintritt. Damit haben wir also $\phi_k:=\frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{|x-a_s|}$ als eine "Korrektorfunktion" (Begriff aus der Literatur, du spiegelst die Singularität mit Hilfe diese Funktion aus der Halbebene raus; deshalb wird es auch oft Spiegelladungsmethode genannt) identifiziert und können und somit, per Konstruktion, 

$$\phi(x)=\Phi(x)-\phi_k(x)$$

die Greensche Funktion von $H$ ist und damit automatisch $\Delta \phi(x)=\delta(x-a)$ auf $H$ erfüllt, auch im Punkt $x=a$.