Du kannst den Normalenvektor \(\vec{n}\) zwar an einer Ebene wie z.B. \(3x+2y-z=6\) ablesen mit \(\vec{n}=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\), aber du kannst du Ebene nicht einfach "nur" mit Hilfe des Normalenvektors aufstellen. Du benötigst immer noch einen Punkt \(P\) bzw. den Stützvektor \(\vec{p}\), so dass die Ebene eindeutig im Raum erklärt ist. Du willst also noch das \(h\in \mathbb{R}\) ermitteln, so dass \(n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z=h\) ist. Dabei muss \(h\) nicht zwangsweise Null sein. Als Beispiel nimm einfach den Normalenvektor von \(\vec{n}=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\) und beispielsweise den Stützvektor \(\vec{p}=\begin{pmatrix}5\\0\\2\end{pmatrix}\). Dann folgt für die Koordinatenform deiner Ebenengleichung unter Zuhilfenahme des hesseschen Normalform:
\(\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot \left[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x-5\\y\\z-2\end{pmatrix}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 3(x-5)+2y-(z-2)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 3x+2y-z=13\)
Du kannst zwar den Normalenvektor \(\vec{n}\) aus der Koordinatenform ablesen, aber offensichtlich wäre \(3x+2y-z=0\) eine andere Ebene.

Hoffe das hilft weiter.