F(x) = ln[ tan( (2x+pi) /4) ]

Aufrufe: 888     Aktiv: 04.04.2021 um 17:52
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Ich muss den Definitions-und Wertebereich der Funktion f(x) = ln[ tan( (2x+pi) /4) ] angeben.

Für den Definitionsbereich ist das Vorgehen ja immer gleich. Für ln(z) muss z größer Null sein, also tan( (2x+pi) /4) > 0. Laut Wolfram Alpha kommt das hier raus:

Wie kommt man darauf? Das das ganze 2pi periodisch sein muss ist mir klar. Nur wie komm ich durch Umstellen oder auf anderen Wegen zu diesem Ergebnis? Wenn man (2x+pi) /4) > 0 umstellt komm ich auf x > -pi/2, das würde für das Wolfram Alpha Ergebnis für n = 1 für ...< x rauskommen (linker Term). Dadurch kann ich aber immernoch nicht begründen wie ich auf den Term komme, ganz zu schweigen von dem rechten.

Für tan(z) muss z ungleich pi/2 + k*pi sein, auch klar, damit der Nenner, also cosinus nicht Null wird, auch wieder 2pi periodisch. Also (2x+pi)/4 ungleich pi/2 + k*pi, da kommt witziger weise x ungeich pi/2 + k*pi raus, bei mir zumindest, sollte aber stimmen oder?
Die Einschränkungen für tan und ln müssten die einzigen sein. Wie würde ich letzdenendes jetzt den Definitionsbereich aufschreiben?

Nun zum meiner Meinung nach schwierigeren Teil, dem Wertebereich. Ich habe mir den Graphen und die Wertetabelle angeschaut und musste feststellen, dass ich damit überhaupt nichts anfangen kann. Es wird auch irgenwas periodisches sein, mehr kann ich dazu leider nicht sagen. 
Vielen Dank. 

Edit: Das F im Titel muss natürlich klein sein, lässt sich leider nicht ändern.
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2 Antworten
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Ich verstehe nicht warum man da so kompliziert rechnen muss, oder gar experimentell rangehen muss.
tan ist pi-periodisch, und \(>0\) auf \((0,\frac\pi2)\). Also setzt man an:\(0<\frac{2x+\pi}4<\frac\pi2\), addiert links und rechts \(n\pi\) und stellt um, fertig.
Surjektiv ist noch einfacher, denn \(\tan: (0,\frac\pi2)\longrightarrow R_{>0}\) surjektiv. Damit hangelt man sich durch bis zum gegebenen \(f\).
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Super, vielen Dank. Hätte garnicht damit gerechnet das sich diesbezüglich überhaupt jemand die Mühe macht und nun hab ich schon 3 Lösungsalternativen.

Was die Formulierung des Definitionsbereiches und ganz wichtig, den Wertebereich betrifft, können Sie mir da weiter helfen?   ─   bukubuku 03.04.2021 um 13:43
Ok also kann ich das so machen?

D = {x element R| pi(2n-1/2) < x < pi(2n+1/2), x ungleich pi(1/2 + n)}

Müsste ich das n bei der 2. Einschränkung umbennen, in k z.B., eigentlich nicht oder, sind ja beide element Z?

Und den Wertebereich...da bin mir nicht sicher ob der Ausdruck gegen pi/2 unendlich klein/groß wird, weil der logarithmus ja da mit reinspielt. Oder ist eine andere Information gemeint. Surjektivität sagt aus das alles was ich einsetze auch rauskommt, bringt mir für den Wertebereich wenig, da ich nicht weiß was rauskommt.   ─   bukubuku 03.04.2021 um 16:40
Was ich weiß sind so die typischen Eigenschaften, er geht bei den Definitionslücken pi/2 +pi*n regelmäßig durch die Decke, dementsprechend ist sein Wertebereich ganz R, seine Nullstellen, sind die vom Sinus weil er im Nenner steht und überall wo cosinus seine nullstellen hat, hat der tangens seine Polstellen, wie oben auch schon angedeutet. Inwiefern helfen mir diese Informationen weiter oder mal anders gefragt, was ist es was mir engeht?

Das mit der Surjektivität ist doch auf 0 bis pi/2 für R positiv bezogen gewesen, also nicht von mir sondern Ihnen, im 1. Kommentar.

Zurück zum Definitionsbereich, ich hab die ungleichschreibweise auch noch nie so gesehen, würde sonst auch vermindert schreiben, aber ich habe mir extra nochmal ein Video angeschaut, zum Wiederauffrischen, da wurde das so geschrieben, aber es scheint falsch zu sein, von mir aus, dann änder ich es eben.

Ich hatte es mir ja plotten lassen, aber eben nur für tangens(...) > 0, da käme der Ausdruck von dem (1.) oberen Bild raus, ich füge nochmal ein Bild von dem Wolfram Alpha Ergebnis für die ganze Funktion ein, die sieht nämlich noch wilder aus. Deswegen dacht ich mir ich begnüge ich mich mit den Einschränkungen die ich/wir schon durchgegangen sind.   ─   bukubuku 03.04.2021 um 17:41
Ok die frage kann ich nicht mehr bearbeiten um das Bild einzufügen, schade.   ─   bukubuku 03.04.2021 um 17:45
Ich duze jetzt auch einfach mal...Du schreibst vom Wertebereich, schreibst aber x element D, wovon sprechen wir jetzt?   ─   bukubuku 04.04.2021 um 11:20
Alles was rauskommen kann. Und das was nicht rauskommen kann ist alles was ich zwischen pi/2 und pi für x einsetze.   ─   bukubuku 04.04.2021 um 12:33
Korriegiere pi/2 und (3/2)pi   ─   bukubuku 04.04.2021 um 12:35
aber da man das sowieso nicht einsetzen darf, alle reellen zahlen?   ─   bukubuku 04.04.2021 um 12:45
Also der Wertebereich ist das was für y rauskommen kann, unter der Berücksichtigung, dass sowieso nur das rauskommen kann, was für x eingesetzt werden darf. Deshalb ist es egal wenn die Funktion für y an einigen Stellen nicht definiert ist, denn das was dafür eingesetzt wurde ist ja im Definitionsbereich ausgeschlossen.   ─   bukubuku 04.04.2021 um 13:04
Und da es unendlich viele Möglichkeiten gibt Zahlen einzusetzen, die im Definitionsbereich liegen und da der tangens in diesen bereichen ja surjektiv ist müssten es alle reellen Zahlen sein   ─   bukubuku 04.04.2021 um 13:11
Ok wenn ich nach deinen Hinweisen gehe, dann müsste das erste von (0,pi/2) sein, das zweite, also tan(...) in diesem bereich wäre +- unendlich und das letzte dann, da der ln positiv sein muss (pi(2n-1/2,pi(2n+1/2)).   ─   bukubuku 04.04.2021 um 13:50
"Bei geeigneter Wahl für n", soll heißen ich muss dazu schreiben das es element von Z sein soll? Würd ich für meinen Vortrag natürlich machen... Da hab ich mich falsch ausgedrückt, also das was ich für ln einsetze muss größer 0 sein. Könnt ich für das letzte noch einen Tipp oder einen Anhaltspunkt bekommen?   ─   bukubuku 04.04.2021 um 14:33
Ich hab mir die Aufgabe nicht ausgesucht, ich habe sie gestellt bekommen. Na schön für f(x)=sqrt(x+1) ist D=x element [-1,unendlich). Der Wertebereich ist W = y element [0, unendlich). Ich kann gerne noch 8 Stunden versuchen mich mit der Aufgabe rumzuschlagen. Nur wenn ich es bis dahin nicht schaffe, kann ich die Lösung von dir erwarten oder nicht? Das wird für dich kein Argument sein, nur mir läuft die Zeit davon und ich hab noch andere Module und Aufgaben die ich erledigen muss, u.a. auch für diesen Vortrag. Manchmal kommt doch die Erkenntnis erst wenn man die Lösung hat. D.h. man kann auch mit der Lösung etwas lernen.   ─   bukubuku 04.04.2021 um 15:14
Ich merke es. Vielleicht können wir nochmal darüber sprechen was das hier bedeutet: "Damit hangelt man sich durch bis zum gegebenen f"
   ─   bukubuku 04.04.2021 um 16:27

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.