Rechteck unter Kurve (Extremwertaufgabe, weitere Unbekannte)

Aufrufe: 350     Aktiv: 01.07.2021 um 14:46
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Hallo zusammen, 

ich habe folgende Übungsaufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, ob ich richtig herangehe: 

"Im 1. Quadranten eines kartesischen Koordinatensystems soll ein Rechteck so zwischen Koordinatenachsen und der Kurve y= (a-x)^1/3 (a>0) einbeschrieben werden, dass die rechte obere Ecke des Rechtsecks auf der Kurve liegt. 
Welche Seitenlängen muss das Rechteck haben, damit sein Flächeninhalt maximal wird?"

Um das zu bestimmen, habe ich folgende Zielfunktion gebildet:
A = x(a-x)^1/3

Allerdings bin ich  mir nicht sicher, ob das a so bleiben kann?

Weiter habe ich abgeleitet: 
A' = (-x+3(a-x)^2/3) / 3(a-x)^1/3

Und ab hier weiß ich nicht weiter, wobei ich mir auch nicht sicher bin, ob bis da hin alles korrekt ist.
Also ich würde dann die 1. Ableitung null setzen, aber mein "Ergebnis" hat noch keinen Sinn gemacht. 


Könntet ihr mir bitte einen Hinweis geben, was ich noch berücksichtigen müsste. 

Vielen Dank.
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Die Zielfunktion ist korrekt, beim Ableiten ist aber was schiefgegangen: Zuerst mit der Produktregel, dann mit der Kettenregel, ergibt sich $$A'(x)=[x]'\cdot(a-x)^{\frac13}+x\cdot\left[(a-x)^{\frac13}\right]'=(a-x)^{\frac13}+x\cdot\frac13(a-x)^{-\frac23}[a-x]'=(a-x)^{\frac13}-\frac13x(a-x)^{-\frac23}=\frac{(a-x)-\frac13x}{(a-x)^{\frac23}}$$ Davon kannst du jetzt sehr einfach die Nullstelle berechnen.
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Ok. super danke dir:)
und den Rest mach ich dann wie üblich.
Nullstellen berechnen, mit 2. Ableitung prüfen ob Maximum usw..?

  ─   danielainformatik 01.07.2021 um 14:35
Grundsätzlich ja, zum Überprüfen, dass es sich um ein Maximum handelt, würde ich dir aber nicht die zweite Ableitung, sondern eher eine Monotonietabelle/Betrachtung des Vorzeichens von $A'$ um das Extremum raten, da die zweite Ableitung doch recht unübersichtlich wird.   ─   stal 01.07.2021 um 14:43
ah ja. stimmt. Danke für den Hinweis!
hatte ja schon Probleme die erste Ableitung korrekt zu machen

danke!!!!   ─   danielainformatik 01.07.2021 um 14:46

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