Das ist hier ein spezieller Fall: Wenn man in der Def. von $f$ den Fall $x= -4$ streicht, und ebenso im obersten Fall die Einschränkung $x\neq -4$, dann ist die Funktion wunderbar stetig, mit $f(-4)=0$. Unstetig wird sie nur, weil quasi künstlich ein Punkt rausgenommen ist mit der Def. $f(-4):=4$. Diese Lücke ist natürlich hebbar durch Def. des "richtigen" Funktionswert $f(-4):=0$.
In Deinem Beispiel (rauskürzen des Nenners $x-1$) war die Lücke durch die Nullstelle im Nenner erzwungen, in diesem $f$ war sie "künstlich" erzeugt.