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Eine oft übersehene Regel ist, dass nur im Bogenmass $\sin'=\cos$ gilt.
Wenn man in Grad rechnen will, dann rechnet man (die meisten merken es eben nicht) mit abgeänderten Funktionen $\rm sind, cosd$ und $x$ in Grad, also ${\rm sind} (x)=\sin (x\frac{2\pi}{360})$. Dann ist also ${\rm sind}'(x)={\rm cosd} (x) \cdot\frac{2\pi}{360}$. Durch die Kettenregel kommt der Faktor dazu.
Du kannst also Deine letzte Zeile nehmen, mit den Gradzahlen, es fehlt aber ganz am Ende der Faktor $\frac{2\pi}{360}$, der ist, aber das ist Zufall, ungefähr $\sin 1^\circ=\rm sind\, 1$.
Wenn man in Grad rechnen will, dann rechnet man (die meisten merken es eben nicht) mit abgeänderten Funktionen $\rm sind, cosd$ und $x$ in Grad, also ${\rm sind} (x)=\sin (x\frac{2\pi}{360})$. Dann ist also ${\rm sind}'(x)={\rm cosd} (x) \cdot\frac{2\pi}{360}$. Durch die Kettenregel kommt der Faktor dazu.
Du kannst also Deine letzte Zeile nehmen, mit den Gradzahlen, es fehlt aber ganz am Ende der Faktor $\frac{2\pi}{360}$, der ist, aber das ist Zufall, ungefähr $\sin 1^\circ=\rm sind\, 1$.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 39.05K
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Noch eben eine kurze Frage: Dann habe ich ja am Schluss als Einheit (m^2)*rad. Denkt man sich die Radiant dann einfach weg oder wie?
─
polymechanical
04.03.2023 um 21:08
Zu den Einheiten: $f$ hat die Einheit $m^2$, $a,b$ die Einheit $m$, $\gamma$ die Einheit $^\circ$. $\sin (...)$ hat kein Einheit ("dimensionslos", sagt man da).
Wenn man jetzt die Ableitungen bildet, entstehen neue Einheiten. Man kennt ja $f(x)$ in Metern, $x$ in Sek., dann Ableitung $f'(x)=$ Geschwindigkeit in $m/s$.
Hier: $F_a$ hat die Einheit $m^2/m$ (da nach $a$ abgeleitet wird, was Einheit $m$ hat), also $F_a$ hat die Einheit (gekürzt) $m$. Der Ausdruck $F_a\cdot da$ hat dann die Einheit $m^2$, ist auch gut so, denn es ist ja eine Flächenänderung.
$F_\gamma$ hat analog die Einheit $m^2/^\circ$, so dass $F_\gamma\cdot d\gamma$ wieder die Einheit $m^2$ hat (ist auch gut so....).
Das gleiche gilt, wenn man in $rad$ rechnet, nur ist wg der Kettenregel da noch ein (einheitenloser) Faktor dabei.
In der Praxis denkt man über die Einheiten nicht so nach und achtet nur auf die Zahlen. Es ist aber manchmal sinnvoll die Einheiten zu prüfen. Z.B. muss bei Gleichungen die Einheit auf der linken Seite gleich der auf der rechten Seite sein. Wenn das nicht der Fall ist, ist das ein Zeichen dafür, dass die Gleichung falsch ist. Kommt gar nicht so selten vor.
Sicherheitshalber noch: Die Frage mit den Einheiten hat mit der Frage des fehlenden Faktors nichts zu tun. Sind zwei getrennte Aspekte. ─ mikn 04.03.2023 um 23:00
Wenn man jetzt die Ableitungen bildet, entstehen neue Einheiten. Man kennt ja $f(x)$ in Metern, $x$ in Sek., dann Ableitung $f'(x)=$ Geschwindigkeit in $m/s$.
Hier: $F_a$ hat die Einheit $m^2/m$ (da nach $a$ abgeleitet wird, was Einheit $m$ hat), also $F_a$ hat die Einheit (gekürzt) $m$. Der Ausdruck $F_a\cdot da$ hat dann die Einheit $m^2$, ist auch gut so, denn es ist ja eine Flächenänderung.
$F_\gamma$ hat analog die Einheit $m^2/^\circ$, so dass $F_\gamma\cdot d\gamma$ wieder die Einheit $m^2$ hat (ist auch gut so....).
Das gleiche gilt, wenn man in $rad$ rechnet, nur ist wg der Kettenregel da noch ein (einheitenloser) Faktor dabei.
In der Praxis denkt man über die Einheiten nicht so nach und achtet nur auf die Zahlen. Es ist aber manchmal sinnvoll die Einheiten zu prüfen. Z.B. muss bei Gleichungen die Einheit auf der linken Seite gleich der auf der rechten Seite sein. Wenn das nicht der Fall ist, ist das ein Zeichen dafür, dass die Gleichung falsch ist. Kommt gar nicht so selten vor.
Sicherheitshalber noch: Die Frage mit den Einheiten hat mit der Frage des fehlenden Faktors nichts zu tun. Sind zwei getrennte Aspekte. ─ mikn 04.03.2023 um 23:00
Wow, sehr sehr starke Erklärung! Hab mich schon immer gefragt, wie gewisse Einheiten speziell der Radiant verschwindet. Nun ist es klar! Vielen Dank!
─
polymechanical
05.03.2023 um 02:33
Gerne, fand ich auch interessant, das mal genau durchzudenken. Noch was: Das $\sin$ in $F$ hat wie gesagt, keine Einheit, aber nach Ableiten wird es zu $\cos$ mit der Einheit $\frac1{rad}$ (bzw. $\frac1{^\circ}$), daher kürzt sich diese Einheit mit dem $d\gamma$ raus.
─
mikn
05.03.2023 um 11:47
@mikn stark das du die Zeit aufbringst deine Antworten zumindest zum Teil wiederherzustellen … Kommentare bleiben wohl verschwunden?
─
maqu
10.03.2023 um 22:57
Ich mach das nur mit den Fragen der letzten Tage. Ja, Kommentare sind völlig unsichtbar. Christian könnte wohl alles wiederherstellen, aber auch nur von Hand und das ist ja unzumutbar. Die Forumsoftware ist miserabel programmiert, und auch meine Sperre hätte gar nicht passieren dürfen (Details will ich aber hier öffentlich nicht ausführen).
─
mikn
10.03.2023 um 23:00
Ja das ist in Anbetracht der Menge an Kommentaren die du über die Jahre gemacht hast nicht zu bewältigen … immer noch sehr schade, da ist viel Qualität des Forums verloren gegangen, auch mit den Antworten die du nicht wiederherstellst. (Wie auch bei cauchy damals)
─
maqu
10.03.2023 um 23:32