Wenn man eine Funktion \(f\) hat, die auf dem abgeschlossenen Intervall \( [-1,1] \) riemann-integrierbar ist, dann sind die beiden Integrale \( \int_{[-1,1]} f(x) \ dx \) und \( \int_{(-1,1)} f(x) \ dx \) gleich.

Wir setzen \( s := sup_{x \in [-1,1]} \vert f(x) \vert \). Da riemann-integrierbare Funktionen beschränkt sind, muss somit \( s \in \mathbb{R} \) sein.

Für (hinreichend kleine) \( \varepsilon, \delta > 0 \) gilt nun

\( \vert \int_{[-1,1]} f(x) \ dx - \int_{[-1+\varepsilon,1-\delta]} f(x) \ dx \vert  \) \( = \vert \int_{[-1,-1+\varepsilon]} f(x) \ dx + \int_{[1-\delta,1]} f(x) \ dx \vert \) \( \le \int_{[-1,-1+\varepsilon]} \vert f(x) \vert \ dx + \int_{[1-\delta,1]} \vert f(x) \vert \ dx \) \( \le \int_{[-1,-1+\varepsilon]} s \ dx + \int_{[1-\delta,1]} s \ dx \) \( = \varepsilon s + \delta s \)

Und für \( \varepsilon, \delta \to 0 \) folgt hieraus

\( \vert \int_{[-1,1]} f(x) \ dx - \int_{(-1,1)} f(x) \ dx \vert = 0 \)

und somit

\( \int_{[-1,1]} f(x) \ dx = \int_{(-1,1)} f(x) \ dx \)