Beweis n-te Wurzel aus n konvergiert gegen 1

Aufrufe: 1655     Aktiv: 22.04.2021 um 14:03
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Ich möchte zeigen, dass \( \sqrt[n]{n}\) gegen 1 konvergiert. Ich habe bereits gezeigt, dass für die Folge \( c_n := \sqrt[n]{n} - 1\) gilt: \( n \geq 1 + \frac{n(n+1)}{2}\cdot c_n^2 \) für \( n\geq 2 \).
Jetzt möchte ich zeigen, dass \( c_n \geq \sqrt{\frac{2}{n}} \) für \( n\geq 2 \) und dass \( (c_n) \) gegen 0 konvergiert, um dann anschließend die ursprüngliche Behauptung zu zeigen, dass \( \sqrt[n]{n}\) gegen 1 konvergiert.

Leider komme ich da nicht weiter. Ich habe bereits dieses Video angeschaut, aber er macht es ein wenig anders. Ich habe das Gefühl, die Lösung liegt vor mir, aber ich seh sie nicht. Kann mir das jemand erklären?
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Du meinst wahrscheinlich \(c_n\leq\sqrt{\frac2n}\), denn nur dann ist es richtig und nur dann kannst du daraus auch die Konvergenz gegen \(0\) schließen. Dazu musst du eigentlich nur die gegebene Ungleichung nach \(c_n\) umstellen: $$n\geq1+\frac{n(n+1)}{2}c_n^2\Longrightarrow c_n^2\leq\frac{2(n-1)}{n(n+1)}\leq\frac2n,$$ da \(\frac{n-1}{n+1}<1\). Da \(c_n\) stets positiv ist, kannst du jetzt gefahrlos die Wurzel ziehen und hast deine Abschätzung.
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Klar, das Ungleichheits-Zeichen war falsch herum. Danke für die ausführliche Antwort. Endlich mal jemand, der mir tatsächlich weiterhilft und keine nebulösen Hinweise liefert.
Damit hab ich gezeigt, dass die Ungleichung gilt, aber mir fehlt noch so das "große Bild". Ich habe ja noch nicht gezeigt, dass \( c_n\) gegen 0 konvergiert und auch nicht, dass die n-te Wurzel aus n gegen 1 konvergiert. Mir ist klar, dass die Antwort darauf in dem bereits Gezeigten liegt, aber ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht.   ─   akimboslice 22.04.2021 um 13:29
Du weißt \(0\leq c_n\leq\sqrt{\frac2n}\). Jetzt wende den Limes auf diese Ungleichung an. Du erhälst $$\lim_{n\to\infty}0\leq\lim_{n\to\infty}c_n\leq\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac2n}$$ Auf der linken Seite kommt ja gar kein \(n\) vor, da steht also einfach nur \(0\). Kannst du den Grenzwert auf der rechten Seite bestimmen? Was kannst du daraus für \(\lim_{n\to\infty}c_n\) schlussfolgern?   ─   stal 22.04.2021 um 13:55
Läuft wohl auf das Sandwich hinaus. Das rechte konvergiert offensichtlich gegen 0, also konvergiert auch \( c_n \) gegen 0. Genial. Den Rest hab ich jetzt auch verstanden. Vielen Dank und noch einen schönen Tag.   ─   akimboslice 22.04.2021 um 14:03

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