Hallo,

linear bedeutet, dass die DGL allgemein in der Form

$$ y^{(n)} = \left( \sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k(x) \cdot y^{(k)} \right) + g(x) $$

Also sowas wie

$$ y''' = y' - 2xy $$

oder

$$ y'' - 2y' + y = 0 $$

es ist beispielsweise keine, wenn die Funktion \( y(x) \) mit einer anderen Funktion verkettet ist

$$ \sin(y(x)) = x^2 $$

wäre eine nicht lineare DGL.

$$ (y'')^2 + y = x $$

wäre auch eine nicht lineare DGL.

Wenn in der obigen allgemeinen Form die Funktion \( g(x) \) die Nullfunktion, also

$$ g(x) = 0 $$

gilt, ist die DGL homogen. Ansonsten inhomogen.

Wenn in der obigen Gleichung die \( a_k(x) \) konstante Funktionen sind, also nicht von \( x \) abhängen, nennen wir die DGL mit konstanten Koeffiziente. Wir schreiben dann einfach \( a_k \).

Der Ansatz der Rechten Seite kannst du nutzen, um die partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten zu bestimmen.

Der Exponentialansatz, ist dafür da um die homogene Lösung einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten zu bestimmen.

Variation der Konstanten ist die allgemeine Herangehensweise um die partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen DGL zu bestimmen. 

Trennung der Variablen ist die favorisierte Methode, wenn man die DGL in die Form

$$ y' = f(y) \cdot g(x) $$

umformen kann.

Versuch mal die Kreuze richtig zu setzen. Ich gucke gerne nochmal drüber.

Grüße Christian