Hallo

hier ist eine Beweis für die parallelentreue affiner Abbildungen, den ich nicht verstehe. Ich wäre froh, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein Denkfehler liegt.

Beweis. Sei f eine affine Abbildung und seien g ung h parallele Geraden in der Ebene. Dann sind f(g) und f(h) parallele Geraden. Angenommen es gäbe einen Schnittpunkt S von f(g) und f(h), so müsste S sowohl ein Urbild in g als auch h besitzen. Dann wäre f aber nicht injektiv und somit keine affine Abbildung. Q.E.D.

Ich verstehe nicht, warum S ein Urbild in g oder h besitzen muss: g und h sind (überabzählbar) unendliche Mengen von Punkten in der Ebene und die Definition der geradentreue (affiner Abbildungen) besagt nicht, dass eine Gerade bijektiv auf eine andere Gerade abgebildet wird, sondern lediglich, dass sie auf eine Gerade abgebildet wird. Da Geraden unendlich viele Punkte besitzen, sollte es möglich sein, mehrere Geraden auf ein und dieselbe Gerade abzubilden (überabzählbare Teilmengen davon) und man kann dann zwei Geraden einen Schnittpunkt S haben lassen, ohne dass S im Urbild der Geraden sein, muss die auf die Teilmenge abgebildet worden ist.

Entweder verwirren mich unendliche Mengen od. ich habe die geradentreue nicht verstanden. Ich wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte.

Vielen Dank!