(Twitter)
2
Hallo,
für die a) hättest du auch die Determinante bestimmen können. Die Abbildung ist genau dann nicht bijektiv, wenn sie keine Umkehrabbildung (Inverse) besitzt und diese bestitzt sie genau dann nicht, wenn die Determinante Null ist.
zur b)
Hier würde ich mal ganz allgemein den Kern und das Bild bestimmen (in Abhängigkeit von \(a\)). Dann überprüfe, ob es ein \( a \) gibt, sodass diese beiden Untervektorräume gleich sind.
Grüße Christian
Diese Antwort melden
Link
geantwortet
christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
Simmt, das mit der Determinante hatte ich leider nicht mehr im Kopf, damit sollte es aber schneller gehen als erstmal den Kern zu bestimmen
─
linearealgebruh
07.01.2020 um 19:15
Habe jetzt einiges hin und her ausprobiert, da ich bezüglich Kern und Bild noch meiner Probleme habe bekomme ich immer wieder einen Knoten im Kopf 😭 Immer wenn ich denke ich bin auf dem richtigen Weg, verstricke ich mich doch wieder in dem ganzen Kram -.-. Das letzte was ich für den Kern in abhängigkeit von a raus bekommen habe ist: (-a-3, a+1, a). Weiß weder ob das richtig ist, noch wie ich damit dann weiter machen kann. Vllt kann man mir da noch weiterhelfen. Ich weiß das der Kern berechnet wird mit Ax=0 und das Bild sind ja alle "Spaltenvektoren" der Matrix und deren vielfaches ausgenommen die Vektoren sind vielfaches voneinander, dann würde dieser Vektor nicht in der Bildmenge sein.
─
katharinad
09.01.2020 um 13:25
Oh ja ich sehe auch gerade ich habe mich ein kleines bisschen verlesen.
Gucken wir uns das ganze nochmal an. Bei der a) habe ich \( a = -7 \) heraus. Also erhalten wir die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} $$
Dort steht ja das wir für dieses \( a \) eine Matrix \( B \) finden sollen.
Es macht auch anders wenig Sinn, denn wäre es ein anderes \( a \), dann wäre im Kern nur der Nullvektor (da die Abbildung dann bijektiv und somit injektiv wäre). Und eine Matrix \( B \) die nur den Nullvektor als Bild hat ist ausschließlich die Nullmatrix.
$$ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Also konzentrieren wir uns auf eine Matrix \( B \) zu \( a =-7 \).
Ich erhalte nach Anwendung des Gauß Algorithmus die Matrix
$$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & a+7 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \underset{a=-7}{\rightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$
Daraus erhalte ich als Kern
$$ \mathrm{ker}(A) = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} , \ t \in \mathbb{R} \right\} $$
Da hast du etwas anderes heraus. Vielleicht willst du einmal deinen Rechenweg hochladen, dann kann ich gucken wo wir die Unterschiede liegen
Nun suchen wir auf jeden Fall eine Matrix \( B \) die diesen Kern als Bild hat. Und da Stand ich auch kurz auf dem Schlauch. Diese Matrix sieht natürlich nicht aus wie die Matrix \( A \) nur mit einem anderen \( a \).
Du hast bereits gesagt, dass die Spaltenvektoren einer Matrix die Basisvektoren des Bildes sind. Also nehme dir 3 Vektoren aus \( \mathrm{ker}(A) \). Da \( \mathrm{ker}(A) \) eindimensional ist, kannst du auch dreimal den selben Vektor nehmen.
So erhälst du auf jeden Fall deine Matix \( B \).
Ist das alles verständlich? ─ christian_strack 09.01.2020 um 20:47
Gucken wir uns das ganze nochmal an. Bei der a) habe ich \( a = -7 \) heraus. Also erhalten wir die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} $$
Dort steht ja das wir für dieses \( a \) eine Matrix \( B \) finden sollen.
Es macht auch anders wenig Sinn, denn wäre es ein anderes \( a \), dann wäre im Kern nur der Nullvektor (da die Abbildung dann bijektiv und somit injektiv wäre). Und eine Matrix \( B \) die nur den Nullvektor als Bild hat ist ausschließlich die Nullmatrix.
$$ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Also konzentrieren wir uns auf eine Matrix \( B \) zu \( a =-7 \).
Ich erhalte nach Anwendung des Gauß Algorithmus die Matrix
$$ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & a+7 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \underset{a=-7}{\rightarrow} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right. \left| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $$
Daraus erhalte ich als Kern
$$ \mathrm{ker}(A) = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} , \ t \in \mathbb{R} \right\} $$
Da hast du etwas anderes heraus. Vielleicht willst du einmal deinen Rechenweg hochladen, dann kann ich gucken wo wir die Unterschiede liegen
Nun suchen wir auf jeden Fall eine Matrix \( B \) die diesen Kern als Bild hat. Und da Stand ich auch kurz auf dem Schlauch. Diese Matrix sieht natürlich nicht aus wie die Matrix \( A \) nur mit einem anderen \( a \).
Du hast bereits gesagt, dass die Spaltenvektoren einer Matrix die Basisvektoren des Bildes sind. Also nehme dir 3 Vektoren aus \( \mathrm{ker}(A) \). Da \( \mathrm{ker}(A) \) eindimensional ist, kannst du auch dreimal den selben Vektor nehmen.
So erhälst du auf jeden Fall deine Matix \( B \).
Ist das alles verständlich? ─ christian_strack 09.01.2020 um 20:47
Danke für diese ausführliche Antwort. Das witzige ist beim ersten Rechnen habe ich auch a = -7 raus und damit dann den Kern ausgerechnet und genau das gleiche wie du raus. Dachte aber irgendwie das es nicht richtig sei. Also könnte ich sagen das die Matrix B = 3 mal der Vektor 4.,-3, 1 ist und somit wäre das Bild gleich der Kern?
─
katharinad
10.01.2020 um 07:50
Ja perfekt :) hab ich dich vielleicht etwas mit meiner Aussage durcheinander gebracht. Sorry :)
$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ -3 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
wäre zum Beispiel eine Matrix die diese Gleichung erfüllen würde.
Nur nochmal damit es auch wirklich kein Missverständnis gibt
Wenn der Kern jetzt zweidimensional gewesen wäre, beispielsweise
$$ \mathrm{ker}(A) = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ t,s \in \mathbb{R} \right\} $$
Dann hättest du auch 2 linear unabhängige Vektoren aus dem Kern nehmen müssen, da du sonst nur einen UVR des Kerns als Bild hast. Eine Matrix \( B \) die diesen Kern als Bild hätte, wäre dann beispielsweise
$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
─ christian_strack 10.01.2020 um 10:15
$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ -3 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
wäre zum Beispiel eine Matrix die diese Gleichung erfüllen würde.
Nur nochmal damit es auch wirklich kein Missverständnis gibt
Wenn der Kern jetzt zweidimensional gewesen wäre, beispielsweise
$$ \mathrm{ker}(A) = \left\{ t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \ t,s \in \mathbb{R} \right\} $$
Dann hättest du auch 2 linear unabhängige Vektoren aus dem Kern nehmen müssen, da du sonst nur einen UVR des Kerns als Bild hast. Eine Matrix \( B \) die diesen Kern als Bild hätte, wäre dann beispielsweise
$$ B = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
─ christian_strack 10.01.2020 um 10:15
Durch die super Erklärung bin ich schon um einiges weiter was das Verständnis angeht :) Es ist auch richtig das wir den Kern von A berechnen und daraus B und das Bild ableiten? Weil in der Frage ja Eigentlich gefordert ist Bild(A) = Kern (B) ?
Ich komme mir so doof vor bei so viel Fragerei 😭 ─ katharinad 10.01.2020 um 11:43
Ich komme mir so doof vor bei so viel Fragerei 😭 ─ katharinad 10.01.2020 um 11:43
Ouh man. Du hast absolut recht. Ich habe die beiden Zeichen vertauscht. Sehen auch fast gleich aus :/
Tut mir echt Leid das ich diese Aufgabe einfach nicht schaffe vernünftig zu lesen. :D
Jetzt machen wir es aber richtig. Ich hoffe du hast noch genug Zeit.
Wir ziehen also die ganze Geschichte von der anderen Seite auf.
Wir bestimmen das Bild von \( A \). Wie sieht das aus? Welche Dimension hat das Bild von \( A \) und somit der Kern von \( B \)?
Wenn wir uns den Rangsatz angucken
$$ \mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(\mathrm{ker}(B)) + \mathrm{dim}(\mathrm{im}(B)) $$
Wissen wir wie viele linear abhängige Spalten die Matrix \( B \) hat.
Versuch diese Fragen erstmal zu beantworten. :)
Falls deine Zeit knapp wird bin ich nach der Verwirrung gerne bereit dir die Aufgabe vorzurechnen :)
─ christian_strack 11.01.2020 um 00:25
Tut mir echt Leid das ich diese Aufgabe einfach nicht schaffe vernünftig zu lesen. :D
Jetzt machen wir es aber richtig. Ich hoffe du hast noch genug Zeit.
Wir ziehen also die ganze Geschichte von der anderen Seite auf.
Wir bestimmen das Bild von \( A \). Wie sieht das aus? Welche Dimension hat das Bild von \( A \) und somit der Kern von \( B \)?
Wenn wir uns den Rangsatz angucken
$$ \mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(\mathrm{ker}(B)) + \mathrm{dim}(\mathrm{im}(B)) $$
Wissen wir wie viele linear abhängige Spalten die Matrix \( B \) hat.
Versuch diese Fragen erstmal zu beantworten. :)
Falls deine Zeit knapp wird bin ich nach der Verwirrung gerne bereit dir die Aufgabe vorzurechnen :)
─ christian_strack 11.01.2020 um 00:25
Hehe alles gut ist mir auch erst viel später aufgefallen :D werde nochmal so rechnen, der Professor sagte allerdings er nimmt die Aufgabe nicht mehr dran :D also werde ich die erstmal hinten dran stellen. Aber die erste Lösung auch wenn es "falschrum" war, hat fürs allgemeine Verständnis einiges gebracht :)
─
katharinad
12.01.2020 um 15:42
Ok perfekt :)
Freut mich zu hören das es trotzdem geholfen hat.
Falls du die Aufgabe doch irgendwann nochmal durch gehen willst, melde dich gerne nochmal. ─ christian_strack 12.01.2020 um 16:08
Freut mich zu hören das es trotzdem geholfen hat.
Falls du die Aufgabe doch irgendwann nochmal durch gehen willst, melde dich gerne nochmal. ─ christian_strack 12.01.2020 um 16:08
Ja gerne kommen noch einige Aufgaben jetzt die Tage, da am 27.1 die Klausur ansteht :D hier unter anderem eine neue https://www.mathefragen.de/frage/12680/basis-fur-unterraum/ . Hatte so eine Ähnliche Aufgabe mit einer Abbildung schonmal gestellt, allerdings lasse ich mich schnell aus dem Konzept bringen aktuell noch, bei Änderungen der Aufgaben :D
─
katharinad
16.01.2020 um 10:59
Zu deiner Antwort zum bestimmen der Matrix einfach fürs Verständnis. Wenn der Kern die dim = 3 hat, und die Matrix besteht aus 3 Spaltenvektoren. Wäre die Matrix dann die Null Matrix? Weil die Dimension vom Bild dann gleich 0 sein muss. Und daher wäre nur die Nullmatrix möglich?
─
katharinad
25.01.2020 um 13:02
Jap dies erfüllt nur die Nullmatrix :)
─
christian_strack
25.01.2020 um 14:28
Nice danke, das ja mal mega easy :D Danke für deine Super Erklärungen :) LA macht langsam sogar spaß :D
─
katharinad
25.01.2020 um 15:04
Hallo christian, ich würde tatsächlich gerne wissen wie du die Aufgabe nun lösen würdest, dein Kommentar ist zwar schon etwas her, aber vielleicht habe ich ja Glück. LG
─
aweis
02.02.2021 um 19:03
Hallo,
tatsächlich hast du Glück :p
Ich halte aber nicht so viel davon es vorzurechnen. Wir können es aber gerne zusammen durchgehen.
Wir haben die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} $$
Wir suchen zu dieser Matrix \(A \) eine Matrix \( B \) mit
$$ \mathrm{Kern}(B) = \mathrm{Bild}(A) $$
Also brauchen wir zuerst das Bild von \( A \). Ist dir klar wie du das Bild bestimmen kannst?
Grüße Christian ─ christian_strack 02.02.2021 um 21:13
tatsächlich hast du Glück :p
Ich halte aber nicht so viel davon es vorzurechnen. Wir können es aber gerne zusammen durchgehen.
Wir haben die Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} $$
Wir suchen zu dieser Matrix \(A \) eine Matrix \( B \) mit
$$ \mathrm{Kern}(B) = \mathrm{Bild}(A) $$
Also brauchen wir zuerst das Bild von \( A \). Ist dir klar wie du das Bild bestimmen kannst?
Grüße Christian ─ christian_strack 02.02.2021 um 21:13
Hallo, vielen Dank!
Also das Bild(A) würde ich bestimmen durch A*x=y (x und y Vektor) aber ich habe leider keine Ahnung welche Werte ich einsetzen müsste...
LG ─ aweis 03.02.2021 um 16:09
Also das Bild(A) würde ich bestimmen durch A*x=y (x und y Vektor) aber ich habe leider keine Ahnung welche Werte ich einsetzen müsste...
LG ─ aweis 03.02.2021 um 16:09
Genau im Bild sind alle Vektoren, auf die eine Abbildung abbildet.
Wir könnten jetzt entweder ein ganz allgemeines LGS aufstellen und prüfen, für welche \(y\) das LGS alles eine Lösung besitzt, aber das ist etwas aufwendiger.
Es gibt noch einen einfacheren Weg.
Wir können ja alle Vektoren durch die Standardbasis (\(\{e_1,e_2,e_3\}\)) darstellen durch Linearkombination
$$ v = ae_1+be_2+ce_3 $$
Da wir eine Lineare Abbildung haben, gilt
$$ A \cdot v = A \cdot ( ae_1 + be_2 + ce_3 ) = a(Ae_1) + b(Ae_2)+ c(Ae_3) $$
Somit können alle Vektoren im Bildraum der Matrix durch das Erzeugendensystem
$$ \left< (Ae_1) , (Ae_2) , (Ae_3) \right> $$
als Linearkombination dargestellt werden.
Ist das soweit verständlich?
Nun gilt aber beispielsweise für \(e_1 \)
$$ A \cdot e_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} $$
Wir erhalten also die erste Spalte der Matrix als Vektor. Für \( e_2 \) erhalten wir die zweite Spalte und für \(e_3 \) erhalten wir die dritte Spalte der Matrix.
Daraus können wir nun folgern, dass das Bild der Matrix durch die Spaltenvektoren aufgespannt wird.
Macht das für dich Sinn?
Nun da wir das Erzeugendensystem des Bildes kennen? Wie sieht das Bild aus? Welchen Untervektorraum erhalten wir (welche Dimension hat dieser)?
─ christian_strack 03.02.2021 um 17:56
Wir könnten jetzt entweder ein ganz allgemeines LGS aufstellen und prüfen, für welche \(y\) das LGS alles eine Lösung besitzt, aber das ist etwas aufwendiger.
Es gibt noch einen einfacheren Weg.
Wir können ja alle Vektoren durch die Standardbasis (\(\{e_1,e_2,e_3\}\)) darstellen durch Linearkombination
$$ v = ae_1+be_2+ce_3 $$
Da wir eine Lineare Abbildung haben, gilt
$$ A \cdot v = A \cdot ( ae_1 + be_2 + ce_3 ) = a(Ae_1) + b(Ae_2)+ c(Ae_3) $$
Somit können alle Vektoren im Bildraum der Matrix durch das Erzeugendensystem
$$ \left< (Ae_1) , (Ae_2) , (Ae_3) \right> $$
als Linearkombination dargestellt werden.
Ist das soweit verständlich?
Nun gilt aber beispielsweise für \(e_1 \)
$$ A \cdot e_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & -1 & -7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} $$
Wir erhalten also die erste Spalte der Matrix als Vektor. Für \( e_2 \) erhalten wir die zweite Spalte und für \(e_3 \) erhalten wir die dritte Spalte der Matrix.
Daraus können wir nun folgern, dass das Bild der Matrix durch die Spaltenvektoren aufgespannt wird.
Macht das für dich Sinn?
Nun da wir das Erzeugendensystem des Bildes kennen? Wie sieht das Bild aus? Welchen Untervektorraum erhalten wir (welche Dimension hat dieser)?
─ christian_strack 03.02.2021 um 17:56
Danke für deine Mühe!
Wenn ich es richtig verstanden habe dann steht e1,e2,e3 also für den einheitsvektor?!
In meinen Unterlagen habe ich jedoch gefunden, dass wenn det(A) != 0 dann ist Bild(A)= alle Spaltenvektoren von A.
Bei dieser Matrix ist jedoch det(A) = 0 . Und nach obiger Rechnung ergeben sich ebenfalls alle Spaltenvektoren von A. Oder nicht? Die Dimension wäre demnach 3. Zum Untervektorraum kann ich leider nichts sagen...
Ich glaube ich brauche einfach mal einen Onlinerechner wo man Bilder bestimmen soll von Matrizen, ich verstehe es einfach nicht ! :(
─ aweis 03.02.2021 um 18:34
Wenn ich es richtig verstanden habe dann steht e1,e2,e3 also für den einheitsvektor?!
In meinen Unterlagen habe ich jedoch gefunden, dass wenn det(A) != 0 dann ist Bild(A)= alle Spaltenvektoren von A.
Bei dieser Matrix ist jedoch det(A) = 0 . Und nach obiger Rechnung ergeben sich ebenfalls alle Spaltenvektoren von A. Oder nicht? Die Dimension wäre demnach 3. Zum Untervektorraum kann ich leider nichts sagen...
Ich glaube ich brauche einfach mal einen Onlinerechner wo man Bilder bestimmen soll von Matrizen, ich verstehe es einfach nicht ! :(
─ aweis 03.02.2021 um 18:34
Das Bild wird immer durch die Spaltenvektoren einer Matrix erzeugt. Das ist egal ob eine Abbildung bijektiv (Determinante ist ungleich Null) ist oder nicht (Determinante ist gleich Null).
Wenn die Determinante ungleich Null ist, also die Abbildung bijektiv ist, dann ist sie auch surjektiv. Das bedeutet, dass das Bild gleich dem Zielvektorraum ist.
Nun haben wir hier aber keine bijektive Abbildung. Wir müssen also überprüfen, welcher Vektorraum hier aufgespannt wird.
Ist denn alles von dem was ich dir erklärt habe verständlich?
Dann können wir da anknüpfen. Lass dich nicht entmutigen. Du bekommst das sicherlich hin :)
Wenn alles verständlich ist, dann sind wir an dem Punkt, dass wir ein Erzeugendensystem des Bildes haben. Was genau ist denn ein Erzeugendensystem? Worin liegt der Unterschied zu einer Basis? ─ christian_strack 03.02.2021 um 19:29
Wenn die Determinante ungleich Null ist, also die Abbildung bijektiv ist, dann ist sie auch surjektiv. Das bedeutet, dass das Bild gleich dem Zielvektorraum ist.
Nun haben wir hier aber keine bijektive Abbildung. Wir müssen also überprüfen, welcher Vektorraum hier aufgespannt wird.
Ist denn alles von dem was ich dir erklärt habe verständlich?
Dann können wir da anknüpfen. Lass dich nicht entmutigen. Du bekommst das sicherlich hin :)
Wenn alles verständlich ist, dann sind wir an dem Punkt, dass wir ein Erzeugendensystem des Bildes haben. Was genau ist denn ein Erzeugendensystem? Worin liegt der Unterschied zu einer Basis? ─ christian_strack 03.02.2021 um 19:29
Der Kommentar war in der Tat sehr hilfreich für mich. Bis hier hin dachte ich wie bereits geschrieben, dass das BIld lediglich bei det !=0 durch alle Spaltenvektoren aufgespannt wird.
Eine kurze Recherche ergab, das der Hauptunterschied von Basis und Erzeugendensystem der ist, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sein müssen. Basis ist also immer ein Erzeugendensystem, ein Erzeugendensystem jedoch nur dann eine Basis wenn die Vektoren linear unabhängig sind.
Ins Große Ganze kann ich es aber immer noch nicht einordnen befürchte ich ... hoffnungsloser Fall... :( ─ aweis 04.02.2021 um 22:33
Eine kurze Recherche ergab, das der Hauptunterschied von Basis und Erzeugendensystem der ist, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sein müssen. Basis ist also immer ein Erzeugendensystem, ein Erzeugendensystem jedoch nur dann eine Basis wenn die Vektoren linear unabhängig sind.
Ins Große Ganze kann ich es aber immer noch nicht einordnen befürchte ich ... hoffnungsloser Fall... :( ─ aweis 04.02.2021 um 22:33
Ach wie gesagt lass dich nicht hängen. Aller Anfang ist schwer. Aber wir schaffen das schon zusammen :)
Du sagst es ja schon richtig. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit ausschließlich lienar unabhängigen Vektoren. Man sagt auch, eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Um jetzt zu wissen, welchen Vektorraum das Erzeugendensystem aufspannt, brauchen wir die Basis des Bildes. Wie erhalten wir also aus diesem Erzeugendensystem eine Basis, die den selben Vektorraum aufspannt? ─ christian_strack 05.02.2021 um 00:01
Du sagst es ja schon richtig. Eine Basis ist ein Erzeugendensystem mit ausschließlich lienar unabhängigen Vektoren. Man sagt auch, eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Um jetzt zu wissen, welchen Vektorraum das Erzeugendensystem aufspannt, brauchen wir die Basis des Bildes. Wie erhalten wir also aus diesem Erzeugendensystem eine Basis, die den selben Vektorraum aufspannt? ─ christian_strack 05.02.2021 um 00:01
hm na gut....
In dem man jeden Vektor auf lineare Unabhängigkeit prüft? Und daraus dann irgendwie eine Basis ableitet? ─ aweis 05.02.2021 um 13:28
In dem man jeden Vektor auf lineare Unabhängigkeit prüft? Und daraus dann irgendwie eine Basis ableitet? ─ aweis 05.02.2021 um 13:28
Ja genau. Überprüfe mal die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit.
Was bekommst du dabei heraus? ─ christian_strack 05.02.2021 um 18:11
Was bekommst du dabei heraus? ─ christian_strack 05.02.2021 um 18:11
Kannst du mir dann vielleicht nochmal auf die Sprünge helfen wie das genau geht?
Ich muss es per Addition und Multiplikation zeigen irgendwie, oder?
─ aweis 06.02.2021 um 18:59
Ich muss es per Addition und Multiplikation zeigen irgendwie, oder?
─ aweis 06.02.2021 um 18:59
Vektoren \( v_1,v_2, \ldots, v_n \) sind linear unabhängig, wenn die Gleichung
$$ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n =0 $$
nur durch \( \lambda_1,\lambda_2, \ldots, \lambda_n =0 \) gelöst wird.
Wenn du auch nur ein \( \lambda_i \) ungleich Null erhälst, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Du musst hier also ein LGS lösen. ─ christian_strack 07.02.2021 um 13:02
$$ \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \ldots + \lambda_n v_n =0 $$
nur durch \( \lambda_1,\lambda_2, \ldots, \lambda_n =0 \) gelöst wird.
Wenn du auch nur ein \( \lambda_i \) ungleich Null erhälst, dann sind die Vektoren linear abhängig.
Du musst hier also ein LGS lösen. ─ christian_strack 07.02.2021 um 13:02
