Habe eine Frage zu einem Satz aus meiner VL bzgl. des Bidualraumes:

Gegeben ist die kanonische Abbildung
\(\Phi: V \longrightarrow V^{* *}, \quad a \longmapsto a^{*},\)
wobei \( a^{*} \) für \( a \in V \) gegeben ist durch
\(a^{*}: V^{*} \longrightarrow K, \quad \varphi \longmapsto \varphi(a) .\)
Satz: Ist \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum, so ist die Abbildung \( \Phi: V \longrightarrow V^{* *} \) ein Isomorphismus von \( K \)-Vektorräumen.

Beweis:
Dass $\Phi$ linear ist, bereitet mir keine Schwierigkeiten, geht mir um Folgendes:

Bilden nun \( a_{1}, \ldots, a_{n} \) eine Basis von \( V \) und ist \( \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n} \) die hierzu duale Basis, so ist \( a_{1}^{*}, \ldots, a_{n}^{*} \) die duale \( \operatorname{Basis~zu~} \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n} \); denn es gilt
\(a_{i}^{*}\left(\varphi_{j}\right)=\varphi_{j}\left(a_{i}\right)=\delta_{i j} \quad \text { für } \quad i, j=1, \ldots, n .\)
Unter \( \Phi \) wird also eine Basis von \( V \) auf eine Basis des Bildraums \( V^{* *} \) abgebildet. Dies bedeutet dann, dass \( \Phi \) notwendig ein Isomorphismus ist.

Ich verstehe nicht ganz, warum \( \Phi \) jetzt "notwendigerweise" ein Isomorphismus ist. Ist das so offentsichtlich? Ich meine, gut, jetzt ist da eine Abbildung zwischen den Basisvektoren. Wegen $\dim(V)=\dim(V^{**})$ weiß ich ja sowieso schon, dass da ein Isomorphismus existiert, verstehe halt nicht, warum aus dem obrigen folgt, dass es "notwendigerweise" \( \Phi \) sein muss.