Der Mittelwertsatz der Integralrechnung lautet wiefolgt:
Sei \(I\subseteq\mathbb R\) ein Intervall, \(f:I\to\mathbb R\) stetig und \(g:I\to\mathbb R\) integrierbar mit \(g\geq0\) oder \(g\leq 0\). Dann existiert ein \(\xi\in I\) mit $$\int_If(x)g(x)\,dx=f(\xi)\int_Ig(x)\,dx$$ Die Voraussetzung \(g\geq0\) oder \(g\leq 0\) ist notwendig, ansonsten gilt der Satz nicht. Für komplexwertige Funktionen ist überhaupt keine Ordnung definiert, das sollte dir schon ein Indiz sein, dass das nicht funktionieren kann.
Als Gegenbeispiel betrachte \(I=[-\pi,\pi],\ f:I\to\mathbb C,x\mapsto e^{ix},\ g:I\to\mathbb C,x\mapsto 1\). Dann müsste $$0=\int_{-\pi}^ \pi e^{ix}\,dx=f(\xi)\int_{-\pi}^\pi\,dx=2\pi e^{i\xi}$$ für ein \(\xi\in[-\pi,\pi]\) gelten. Das kann aber nicht sein, da \(e^z\) nie verschwindet.