Die Ableitungen sehen gut aus.

Bei der Nullstelle hast du dann einen Fehler gemacht. Aus irgendeinem Grund hast du den x-Wert in die Ableitung eingesetzt, um den y-Wert herauszubekommen. Der Witz an einer Nullstelle ist aber gerade, dass der y-Wert an dieser Stelle Null ist - deshalb auch der Begriff Nullstelle. Du kommst also auf \(N=(-1,0)\).

Die Ausführungen zum Extremum sind etwas wirr aufgeschrieben. Du setzt \(f^{\prime}(x)=0\) und berechnest nicht \(f^{\prime}(0)\) so wie du es fälschlicherweise aufgeschrieben hast. Und auch hier ist der y-Wert nicht richtig berechnet worden. Wenn du den y-Wert an einer Stelle berechnen willst, dann setzt du defür immer den x-Wert in die ursprüngliche Funktion ein - ausdrücklich nicht in eine der Ableitungen. Hier ergäbe sich dann \(E_{Min}=(-2, -e^{-2})\).

Und auch beim Wendepunkt findet sich wieder das gleiche Problem. Es gilt \(WP=(-3,-2e^{-3})\).

Ansonsten scheinen deine Rechnungen aber alle zu stimmen - auch wenn der Aufschrieb etwas eleganter sein könnte.

Hallo,

die \( x \) Werte sind alle richtig. Allerdings sind deine \(y\) Werte alle falsch. Alle Punkte \( P(x_0|y_0) \) die auf dem Punkt liegen, müssen die Funktionsgleichung erfüllen. Um nun zu prüfen, welche \( y \) Koordinate die Punkte haben, musst du sie in die Funktion \( f \) einsetzen.

Wenn du einen \(x \) Wert  in die erste Ableitung einsetzt, sagt dir das Ergebnis die Steigung in dem Punkt und wenn du einen \(x \) Wert in die zweite Ableitung einsetzt, sagt der Wert etwas über das Krümmungsverhalten aus. 

Also musst du alle \( x \) Werte in deine Funktion einsetzen um die zugehörigen \(y\) Werte zu erhalten.

Zusätzlich musst du bei Extrem und Wendepunkten immer noch überprüfen, ob die nächste Ableitung Null wird für den selben \( x \) Wert. Nur wenn diese nicht Null wird, liegt wirklich ein Extremum bzw Wendepunkt vor. 
Das hast du im Prinzip gemacht, als du die \(y \) Werte ausrechnen wolltest.

Grüße Christian