Du hast die Definition nicht richtig verstanden. Die Definition lautet, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, falls es ein $N_\varepsilon$ gibt, so dass $|x_n-x|\leq\varepsilon$ für ALLE $\varepsilon$ und für $n\geq N_\varepsilon$ gilt. Du hast es nur für ein konkretes $\varepsilon$ gezeigt und das reicht natürlich nicht. Es ist in der Mathematik ein wesentlicher Unterschied, ob in einer Aussage steht "für alle" oder "es existiert". Die Folge $a_n=(-1)^n$ konvergiert zum Beispiel nicht gegen 1 (sie konvergiert überhaupt nicht), obwohl $|a_n-1|\leq 1$ gilt. Es gilt aber eben nicht $|a_n-1|\leq 0{,}5$. Dieses $N_\varepsilon$, was man eigentlich bestimmt (es hängt von $\varepsilon$ ab) ist quasi die Zahl, so dass für alle nachfolgenden Folgenglieder, also $n\geq N_\varepsilon$, die Ungleichung $|x_n-x|\leq\varepsilon$ gilt. Und da diese Ungleichung für alle $\varepsilon$ gelten muss, kann man für jedes $\varepsilon$ ein solches $N_\varepsilon$ finden. Daher ist es immer nötig, dieses $N_\varepsilon$ anzugeben. 

Ich hoffe, es ist etwas klarer geworden.