Ich verstehe die Frage so, dass es überhaupt eine Lösungsmenge \(M\) geben muss, und diese eine Kurve, d.h. eine (zusammenhängende) Linie beschreibt.

Keine Kurve wären z.B. einzelne Punkte, eine zweidimensionale Fläche oder mehrere getrennte Linien.

Das wichtigste ist aber zunächst mal, dass \(M\) nicht leer sein darf. Wann gibt es also Lösungen? Ich würde dazu substituerien:

\[ X := x^2 \,, \quad Y := y^2 \,, \quad C := c^2 \,, \]

wozu wir noch die Bedingungen \( X, Y, C \ge 0 \) nehmen müssen. Dann haben wir es „nur noch“ mit einer „normalen“ quadratischen Gleichung

\[ (X + Y + 3 + C)^2 - 16 (X + C) = 0 \tag {*} \]

zu tun. Wenn sich dafür als Lösungsmenge eine Kurve ergibt, wie schaut dann die Lösungsmenge für die ursprünglichen Parameter \(x,y,c\) aus?

Zunächst einmal wird die von \((*)\) beschrieben Kurve eine Ellipse sein (das „sieht man“). Durch das Quadrieren (bzw. hier das Wurzelziehen) wird diese etwas verzerrt – so wie wenn man ein Bild durch ein gekrümmtes Medium (z.B. eine Flasche Wasser) anschaut – das ist aber harmlos.

Eher schon ein Problem könnte sein, dass für jedes \((x,y) \in M \) auch \((\pm x, \pm y) \in M\) liegt! Da nun die Lösungsmenge von \((*)\) auf den ersten Quadranten beschränkt ist, wird also dieser Quadrant in die anderen drei Quadranten gespiegelt. Wenn der Ausschnitt der Ellipse, der im ersten Quadranten liegt, ein einzelnes Kurvenstück ist, das beide Koordinatenachsen trifft (so ähnlich wie ein Viertelkreis), dann bekommen wir durch das Spiegeln vier von diesen Kurvenstücken, die sich an den Koordinatenachsen treffen, zusammen also eine schön zusammenhängende Kurve bilden.

Kommst du damit weiter?