Die Abbildungsmatrix hat stets die Form \((f(b_1),f(b_2),\ldots,f(b_n))\), d.h. die Spalten sind die Bilder der Basisvektoren. Das beantwortet gleich die letzte Frage, auch die Dimension der Matrix sollte jetzt klar sein: Es sind \(n\) Basisvektoren, und die Bilder sind \(m\)-dimensionale Vektoren, also gibt es \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten. \(f(V)=\{f(v)\ |\ v\in V\}\) ist das Bild von \(f\), also die Menge aller Vektoren in \(W\), die von \(f\) getroffen werden.
\(rg(f)=rg(A)\) stimmt zwar, kann aber nicht die Definition von beiden Ausdrücken sein. Üblicherweise ist \(rg(f)=\dim f(V)\) die Definition und \(rg(A)\) wird dann entweder als \(rg(A)=rg(f)\) oder als Anzahl der linear unabhängigen Spalten/Zeilen in der Matrix definiert. Dazu solltest du in deiner Vorlesung nachschauen.
Vieles von dem, was du schreibst, verstehe ich leider nicht. Wenn du noch Fragen hast, kannst du gerne nochmal nachfragen.