Es besteht wohl ein assoziativer Zusammenhang zwischen den beiden Aufgabenteilen, aber eigentlich müsste das trotzdem besser (wasserdicht) erklärt werden. Löst man b) nach "Muster" a) ist die Aussage wahr. Lambda ist die Konstante (also k), es geht um einfache Abbildungen wie bei a). Erlaubt man auch komplizierter Fälle wäre die Gleichung allerdings nicht zwingend richtig.
Es gilt wie bei a) `f(k*(x1,x2))=k*f(x1,x2)`, weil:
`k*x1*(a1,a2,a3)+k*x2*(b1,b2,b3)=k*(x1*(a1,a2,a3)+x2*(b1,b2,b3))`
Jede "Dimension" des `R^3` kann nun einzeln betrachtet werden.
`k*x1*a1+k*x2*b1=k*(x1*a1+x2*b1)`
`k*x1*a1+k*x2*b1=k*x1*a1+k*x2*b1`
Diese Aussage ist wahr, analog verfährt man weiter.
Das Ganze kann auch auf Abbildungen in `R^n` nach dem gleichen Muster erweitert werden.
Student, Punkte: 5.08K
Du benutzt die Vorgabe, die du bei b) gegeben hast. Das ist deine zu beweisende Aussage.
Außerdem kennst du die Struktur deiner Gleichung - die schaust du bei a) ab. Und zwar bevor du für x1 und x2 Werte eingesetzt hast, also das was ganz am Anfang steht.
Dann versuchst du damit zu arbeiten. Links steht, dass deine Konstante (k oder Lambda) beim Einsetzten in die Gleichung berücksichtigt werden muss. An alle Stellen wo du vorher nur x1 oder x2 eingesetzt hast, setzt du jetzt k*x1 oder k*x2 ein.
Rechst steht, dass du das Ergebnis der Gleichung mit k multiplizieren sollst. Du übernimmst also die Struktur von a und multiplizierst den ganzen Ausdruck mit k.
Dann folgt die Hauptaufgabe - zu beweisen, dass das für alle x1, x2 und k das Gleiche ergibt.
Dafür formst du um. Hier hast du den Vorteil, dass jede "Raumrichtung" einzeln betrachtet werden kann.
Also fängst du einfach mit der ersten an. Stelle dir vor du hättest anstatt der Variablen Zahlen stehen - wie würdest du nun beide Seiten der Gleichung benutzen um die erste Raumkoordinate genau auszurechen - mache das aber immer mit den Variablen als Platzhaltern. Das braucht jetzt einfach ein wenig Übung, aber du solltest durch (hier noch recht einfache) Umformungen auf beiden Seiten (rechts und links) auf dem selben Ausdruck kommen. Damit ist gezeigt, dass die erste Raumrichtung für alles x1, x2 und k auf beiden Wegen (links und rechst) bestimmt werden kann.
Nun solltest du erkennen, dass die gleichen Überlegungen auch für jede andere Raumrichtung/Dimension gelten. Das beweist also, dass deine gegebene Behauptung bei b) zumindest in der gegebenen Struktur von a) immer eine wahre Aussage ist.
─ vt5 30.08.2019 um 14:25
─ vt5 30.08.2019 um 15:39
ich würde es mit Matritzenrechnung, Skalarrechnung oder Vektorrechnung versuchen. Übrigens habe ich mich in meinem ersten Post hier vertan, was die Begrifflichkeit betrifft. Ich hatte gedacht, eine Matrix mit genau einer Spalte und mehr als einer Zeile sei ein Skalar. In Wirklichkeit ist ein Skalar eine \(1\times 1\)-Matrix oder anders ausgedrückt: einfach eine reelle Zahl. Eine Matrix mit genau einer Spalte und mehr als einer Zeile ist ein Spaltenvektor. Siehe dazu hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)#Typ
Viele Grüße
jake2042 ─ jake2042 30.08.2019 um 22:58
Diese Antwort steht zu 100% (außer das für a1,a2,a3,b1,b2,b3 Zahlen genommen wurden) in der Lösung. Was muss ich wissen um solche Aufgaben lösen zu können? Wie löst man solche Aufgaben? ─ irukandji 30.08.2019 um 13:38