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Also ich bin mir nicht sicher, ob ich es gerade zu einfach mache. Aber $C, C'$ müssen ja nach Eindeutigkeit der Dimension von $V$ gleiche Mächtigkeit haben, also $|C| = |C'| =: n=\dim V+1$.
Nun hast du zwei Mengen gleicher Mächtigkeit, von der eine vollständig in der anderen liegt. $C'$ hat also garkeine andere Wahl, als $C'=C$ zu sein.
Nun hast du zwei Mengen gleicher Mächtigkeit, von der eine vollständig in der anderen liegt. $C'$ hat also garkeine andere Wahl, als $C'=C$ zu sein.
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thawaffle
Punkte: 10
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Das Problem: $|C|=:n$ ist keine Definition von $n$, sondern müsste erst einmal bewiesen werden.
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cauchy
14.11.2023 um 19:51
Ja, also die Definition von $n$ ist nicht das Problem, sondern wieso das $=|C'|$ bzw. $=\dim V+1$ sein soll, verdient sicher noch 1-2 Sätze mehr als ich hier lapidar behauptet habe, stimmt!
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thawaffle
15.11.2023 um 05:42
Die beiden Mengen müssen nicht gleichmächtig sein und schon gar nicht Mächtigkeit $=\dim V+1$ haben.
Beispiel: $V=R^3$ mit Standardbasis $e_1,e_2,e_3$ und $C=\{e_1,2\,e_1\},\, C'=\{e_1,e_2,e_1+e_2\}$. Oder dasselbe in $R^4,...$. ─ mikn 15.11.2023 um 18:02
Beispiel: $V=R^3$ mit Standardbasis $e_1,e_2,e_3$ und $C=\{e_1,2\,e_1\},\, C'=\{e_1,e_2,e_1+e_2\}$. Oder dasselbe in $R^4,...$. ─ mikn 15.11.2023 um 18:02
Du hast recht! Daran habe ich gar nicht gedacht. Nirgends ist $V=\mathrm{Span}_\mathbb{K}(C)$ gefordert. Dann kommt man um Linearkombinationen nun wohl nicht herum.
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thawaffle
15.11.2023 um 22:18