Normalteiler Anzahl der Nebenklassen

Aufrufe: 409     Aktiv: 24.06.2021 um 18:26
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Hallo,
Ich habe ein kleines Verständnisproblem, und zwar ist ja die Bedingung ein Normalteiler (N) einer Gruppe (G) zu sein, entweder, dass G kommutativ ist, was auch auf die Untergruppe vererbt wird (und?/ oder oder?) die Untergruppe (die ein Normalteiler sein könnte) mit G in genau zwei Nebenklassen zerlegt werden kann, nämlich G und G / U
Also z.B. die Alternierende Gruppe (mit VZ + ), die eine Untergruppe ist als Untergruppe der Sn, ich kann somit ein + Element aus G wählen (dies wäre ein e für U) oder ein - Element (13) oder (12) oder (23) Interessanterweise und auch logisch, wird die dann zur Sn / An (zur ungeraden) also wieder zur (13) (12) (23), die Mächtigkeit ist 3, es gibt 2 Untergruppe, somit ist An ein Normalteiler der Sn, und auch eine Untergruppe nach Langrange - alles verständlich

Nur womit ich ein kleines Problem habe ist (und? oder oder?), denn wenn die Bedingung und wäre wäre ja die Untergruppe z.B. (5Z, +) keine Untergruppe der (Z, + ), da Z U in 4 Nebenklassen (LNK = RNK) + 1 neutrale Zerlegt, d.h. Man hätte 0 / 5Z = e / 5Z - 1 / 5Z  - 2 / 5 Z - 3 / 5Z - 4 / 5 Z |U| wäre 1, |G : U| wäre 5 und G wäre inf, d.h. teilbar, aber |G : U| wäre eben 5 und nicht 2, obwohl dies ja Voraussetzung für einen Normalteiler ist.
(5Z, +) ist aber allenfalls ein Normalteiler von Z, da 1 + 5Z = 5Z + 1 , somit müsste die Bedingung ein oder sein? Also entweder ist G (Obergruppe) kommutativ oder |G : U | = 2 ?

Vielen dank schon mal im Voraus :)
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Beide Aussagen, $G$ kommutativ (und damit auch $N$ kommutativ) und $|G/N|=2$ sind hinreichende Bedingungen dafür, dass $N$ ein Normalteiler ist. Wenn also eine der beiden erfüllt ist, weißt du, dass $N$ ein Normalteiler ist. Es gibt aber auch Normalteiler, die keine der beiden Bedingungen erfüllen. Zum Beispiel ist $K=\{\mathrm{id},(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\subseteq A_4$ ein Normalteiler mit $|A_4/K|=3$ und $A_4$ ist natürlich auch nicht kommutativ.
Die Definition eines Normalteilers $N\leq G$ ist, dass $N$ eine Untergruppe ist, die zusätzlich eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:
  • $\forall n\in N\ \forall g\in G:gng^{-1}\in N$,
  • Es gibt eine Gruppe $H$ und einen Gruppenhomomorphismus $f:G\to H$ mit $N=\ker f$.
  • Die Operation $(g+N,g'+N)\mapsto gg'+N$ definiert eine wohldefinierte Gruppenstruktur auf $G/N$.
Das oder so etwas ähnliches habt ihr sicher auch definiert. Im Allgemeinen musst du also mit dieser Definition arbeiten.
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Vielen Dank :) glaub so genau brauch ich's dann auch nicht können - aber ist gut, so viel wie möglich zu wissen (auch wenn mein jetziger Prof und Prüfer, im Gegensatz zum Vorigen, alles zu 100% besser erklärt - und voraussichtlich auch nicht annäherend so hart prüft, aber leider gibt es immer solche und solche :/ ) , danke auf jeden Fall :)   ─   sven03 24.06.2021 um 18:26

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