Diese Differentialgleichung ist nicht durch Trennung der Variablen lösbar, deshalb kann dein Ansatz nicht funktionieren. Nach Multiplikation mit $e^t$ ist sie aber exakt, sodass du wiefolgt vorgehen kannst: $$e^xy'+e^xy=\frac{x+6}{x^2-4}\Longleftrightarrow\frac{d}{dx}(e^xy)=\frac{x+6}{x^2-4}\Longrightarrow e^xy=\int\frac{x+6}{x^2-4}\,\mathrm dx$$ und das Integral kannst du einfach lösen, z.B. durch Partialbruchzerlegung.