Ein sehr einfacher, aber rechenlastiger Weg, ist, den Integrationsbereich in Teile aufzuspalten, in denen \(cos(x+y)\) sein Vorzeichen nicht ändert, dann fällt der Betrag jeweils weg und man kann die Integrale leicht berechnen. Ich habe Folgendes gemacht:
$$I_2=\int_0^{\pi/2}\left(\int_0^{\pi/2-y}f(x,y)\,\mathrm dx+\int_{\pi/2-y}^{\pi/2}f(x,y)\,\mathrm dx+\int_{\pi/2}^\pi f(x,y)\,\mathrm dx\right)\,\mathrm dy+\int_{\pi/2}^\pi\left(\int_0^{\pi/2}f(x,y)\,\mathrm dx+\int_{\pi/2}^{3\pi/2-y}f(x,y)\,\mathrm dx+\int_{3\pi/2-y}^{\pi}f(x,y)\,\mathrm dx\right)\,\mathrm dy$$ mit \(f(x,y)=|\!\cos(x+y)|\). Jetzt kannst du dir für jeden Bereich überlegen, welches Vorzeichen \(\cos(x+y)\) hat und dann den Betrag weglassen oder durch ein Minus ersetzen. Die Integrale sind dann alle leicht berechenbar. 

Diese Lösung ist ein bisschen rechenlastig, weil man so viele Integrale einzeln ausrechnen muss. Es kann gut sein, dass es einen einfacheren, eleganten Ansatz gibt, aber den sehe ich gerade nicht. Und so schlimm ist die Rechnung auch nicht, in ein paar Minuten sollte man da durchkommen. Die Integrale sind wirklich einfach und nachdem man alle Integrale nach \(x\) integriert hat, kürzt sich so gut wie alles weg.