Fixpunkt trotz fehlender Voraussetzungen? (Banach)

Aufrufe: 364     Aktiv: 29.06.2021 um 15:04
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Kann eine Funktion einen Fixpunkt besitzen, wenn die Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes nicht erfüllt sind?
Im Prinzip sagt der Satz ja nur "Wenn dies und das gilt, dann gibt es einen Fixpunkt". Er sagt ja nicht "Wenn von dies und das etwas nicht erfüllt ist, dann gibt es keinen".
Aber wie würde man die Existenz eines Fixpunktes bestimmen, wenn sie nicht mithilfe dieses Satzes erkennbar ist?
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Das hast du schon richtig erkannt, es gibt auch Funktionen, die einen Fixpunkt haben, und man kann nicht den Banach'schen Fixpunktsatz verwenden. Ein einfaches Beispiel wäre $f:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto x$, was keine Kontraktion ist, aber unendlich viele Fixpunkte hat. Hier findest du eine ganze Liste von Fixpunktsätzen, die dazu hilfreich sein könnten.
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