Konvergenz beweisen

Aufrufe: 880     Aktiv: 23.10.2019 um 15:42
0

Sei eine reelle Folge durch folgenden Algorithmus gegeben:

n = 10

b = 2
a = sqrt(b)
s = a^a
for i in range(1,n):
    s = a^s
    print(numerical_approx(s))

 

mit

1.76083955588003
1.84091086929101
1.89271269682851
1.92699970184710
1.95003477380582
1.96566488651732
1.97634175440970
1.98366839930382
1.98871177341395

Ich vermute Konvergenz gegen 2.0.

 

Wie kann ich das beweisen?

 

Vielen Dank im voraus.

 

bis n = 100

1.76083955588003
1.84091086929101
1.89271269682851
1.92699970184710
1.95003477380582
1.96566488651732
1.97634175440970
1.98366839930382
1.98871177341395
1.99219088294706
1.99459445071210
1.99625666626586
1.99740700114134
1.99820347750870
1.99875513308459
1.99913731011939
1.99940211832500
1.99958562293568
1.99971279632964
1.99980093549297
1.99986202375778
1.99990436444334
1.99993371158210
1.99995405289782
1.99996815214924
1.99997792487387
1.99998469874709
1.99998939400781
1.99999264849993
1.99999490433494
1.99999646795725
1.99999755177603
1.99999830302118
1.99999882374426
1.99999918468182
1.99999943486458
1.99999960827801
1.99999972847903
1.99999981179601
1.99999986954694
1.99999990957683
1.99999993732344
1.99999995655592
1.99999996988686
1.99999997912716
1.99999998553205
1.99999998997158
1.99999999304883
1.99999999518182
1.99999999666029
1.99999999768509
1.99999999839543
1.99999999888779
1.99999999922908
1.99999999946564
1.99999999962961
1.99999999974326
1.99999999982204
1.99999999987665
1.99999999991450
1.99999999994074
1.99999999995892
1.99999999997153
1.99999999998026
1.99999999998632
1.99999999999052
1.99999999999343
1.99999999999544
1.99999999999684
1.99999999999781
1.99999999999848
1.99999999999895
1.99999999999927
1.99999999999949
1.99999999999965
1.99999999999976
1.99999999999983
1.99999999999988
1.99999999999992
1.99999999999994
1.99999999999996
1.99999999999997
1.99999999999998
1.99999999999999
1.99999999999999
1.99999999999999
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000
2.00000000000000



 

 

Es existieren b > 2, wo die Folge nicht konvergiert.

 

n = 10
b = 3
a = sqrt(b)
s = a^a
for i in range(1,n):
    s = a^s
    print(numerical_approx(s))

4.14695063102757
9.75661446705656
212.590605146743
5.19694516711664e50
+infinity
Diese Frage melden
gefragt

Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 20

 
Versuch vielleicht Mal durch \( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \) umzuformen   ─   jojoliese 22.10.2019 um 23:04
Kommentar schreiben
2 Antworten
0

Im Halbschlaf ist bei mir der Groschen gefallen :D

Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 2.18K

 
War wohl doch etwas müde:

edit1: es ist natürlich völlig klar, dass die "neue Folge" äquivalent zu deiner ist! Hat mich nur ein paar Überlegungen gebraucht um auf diese Idee so zu kommen.

edit2: links von 2 ist die Logarithmusfunktion monoton wachsend (nicht fallend!)   ─   jojoliese 23.10.2019 um 06:08
Herzlichen Dank. Die Argumentation ist sauber.
Ergibt sich für mich die Frage, ob sämtliche Folgenglieder nichtrational sind?   ─   starwick 23.10.2019 um 07:26
Puuh, also für \( \sqrt{2} \) und \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) gibt es Beweise für die Irrationalität... Meines Wissens sind alle höheren Potenzen nicht bekannt, also wird dir hier kaum einer helfen können ':D   ─   jojoliese 23.10.2019 um 09:31

√2 ist ja der bekannte Standardbeweis. √2^√2 hast Du eine Quelle dafür? Der Beweis interessiert mich brennend. Gibt es Ansätze für Beweisversuche mit höheren Potenzen dafür in der Literatur?
  ─   starwick 23.10.2019 um 12:16
Gelfond-Schneider ist dein Google-Stichwort,
Das ist aber kein konstruktiver Beweis

Ansonsten weiß ich nicht, ob es da Ansätze gibt... Wenn man anders herum klammert ist es ja easy, da sich alles auflöst... Aber so keine Ahnung
   ─   jojoliese 23.10.2019 um 13:04
andersherum ist es wie Du sagst trivial. Danke für den Tipp. Bleibt die Frage warum es für b > 2 divergent ist. Du hattest da doch schon was dazu gesagt. Ich habe oben noch was zum Fall b = 3 geschrieben-   ─   starwick 23.10.2019 um 15:14
Die Divergenz wird mit dem Quotienten Kriterium ziemlich schnell deutlich

\( \vert \frac{x_{n+1}}{x_{n}} \vert > 1 \) für b>2

Einfach Mal nachprüfen, das haut hin :)   ─   jojoliese 23.10.2019 um 15:26
Danke   ─   starwick 23.10.2019 um 15:42

Kommentar schreiben

0

Hallo! Schon mit der Definition für Konvergenz versucht? Zerlege deine Funktion in die einzelnen Teile und sieh dir an, wohin diese konvergieren würden. Damit kannst du dann begründen, warum es gegen 2 konvergiert.

Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 10

 

Die obige reelle Folge in Teilfolgen zerlegen? Desweiteren habe ich die Vermutung dass alle und nur die Folgen mit 0 < b<=2 konvergieren

  -  
starwick,


kommentiert
vor 3 Minuten

Bearbeiten

Löschen


   ─   starwick 22.10.2019 um 21:52

Kommentar schreiben