Ich weiß nicht, ob das die eleganteste Lösung ist, aber ich würde es so machen:

Es gilt zunächst

\( \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} \) \( = \begin{pmatrix} 1-\lambda & \lambda \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n-1} \end{pmatrix} \)

Induktiv folgt daraus

\( \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} \) \( = \begin{pmatrix} 1-\lambda & \lambda \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} x_1 \\ x_0 \end{pmatrix} \)

Mit der Zerlegung

\( \begin{pmatrix} 1-\lambda & \lambda \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) \( = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \)

erhalten wir

\( \begin{pmatrix} 1-\lambda & \lambda \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n \) \( = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\lambda & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \) \( = \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-\lambda)^n & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \) \( = \frac{1}{1+\lambda} \begin{pmatrix} 1-(-\lambda)^{n+1} & \lambda + (-\lambda)^{n+1} \\ 1-(-\lambda)^n & \lambda+(-\lambda)^n \end{pmatrix} \)

und somit

\( \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_n \end{pmatrix} \) \( = \frac{1}{1+\lambda} \begin{pmatrix} 1-(-\lambda)^{n+1} & \lambda + (-\lambda)^{n+1} \\ 1-(-\lambda)^n & \lambda+(-\lambda)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_0 \end{pmatrix} \) \( = \frac{1}{1+\lambda} \begin{pmatrix} (1-(-\lambda)^{n+1})x_1 + (\lambda + (-\lambda)^{n+1})x_0 \\ (1-(-\lambda)^n)x_1 + (\lambda+(-\lambda)^n)x_0 \end{pmatrix} \)

Damit erhalten wir die geschlossene Form

\( x_n = \frac{1-(-\lambda)^n}{1+\lambda} x_1 + \frac{\lambda+(-\lambda)^n}{1+\lambda} x_0 \)

Und somit ist klar, dass die Folge konvergent ist mit Grenzwert

\( \lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{1+\lambda} x_1 + \frac{\lambda}{1+\lambda} x_0 \)