Hallo,

es gibt verschiedene Möglichkeiten die Normale Gerade zu berechnen. Die Normale Gerade steht senkrecht auf unserer gegebenen Gerade und verkläuft somit in Richtung des Normalenvektors unserer Geraden.

Den Normalenvektor können wir direkt ablesen.

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Die Koeffizienten des Normalenvektors entsprechen den Vorfaktoren der Koordinaten in der Koordinatenform.

Nun können wir die normale Gerade in Parameterform angeben. Wir haben einen Punkt gegeben, das ist unser Ortsvektor. Außerdem ist der Richtungsvektor der Normalenvektor

$$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Wenn wir die Gerade in Kooridantenform angeben wollen, dann brauchen wir den Normalenvektor unserer neuen Gerade, denn die Vorfaktoren in der Koordinatenform, entsprechen den Koeffizienten des Normalenvektor. Deshalb denke ich, meinst du das man den Normalenvektor von Normalenvektor braucht. 
Wir haben den Normalenvektor

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} $$

Der Vektor der senkrecht auf diesem Vektor steht, berechnen wir über

$$ \vec{m} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} m_x \\ m_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = 2m_x - 3 m_y = 0 \Rightarrow m_x = \frac 3 2 m_y $$

Wählen wir \( m_y = r \) erhalten wir den Vektor

$$ \vec{m} = \begin{pmatrix}  \frac 3 2 r \\ r \end{pmatrix} $$

Für ein beliebiges \( r \in \mathbb{R} \), erhalten wir einen Vektor der senkrecht auf dem Normalenvektor der gegeben Gerade steht. Nehmen wir \( r=2 \) 

$$ \vec{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Das können wir in die allgemeine Koordinatenform einsetzen

$$ 3x + 2y = d $$

setzen wir noch den Punkt \( P(1|5) \) ein, erhalten wir

$$ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5 = 3 + 10 = 13 = d $$

und somit die Geradengleichung

$$ 3x + 2y = 13 $$

Wir hätten die Gerade auch mit dem Wissen aus der Sekundarstufe I berechnen können.

Wir nehmen die Gerade

$$ 2x - 3y = 8 $$

und formen diese um

$$ \Rightarrow y = \frac 2 3 x - \frac 8 3 $$

Nun hat eine orthogonale Gerade den negativen Kehrwert als Steigung

$$ \Rightarrow m = - \frac 1 {\frac 2 3} = - \frac 3 2 $$

Das setzen wir in die allgemeine Form einer Linearen Funktion ein und erhalten

$$ y = - \frac 3 2 x + n $$

Wir setzen noch den Punkt ein

$$ 5 = - \frac 3 2 \cdot 1 + n \Rightarrow n = \frac {13} 2 $$

und erhalten die Gerade

$$ y= - \frac 3 2 x + \frac {13} 2 $$

Wir formen die Gleichung wieder um

$$ \Rightarrow y + \frac 3 2 x = \frac {13} 2 $$

und mutliplizieren noch mit \( 2 \)

$$ 2y + 3x = 13 $$

Grüße Christian