Hallo,

bei \(a^2\) bist du aber noch nicht ganz fertig.

 

Hier ist unser Nullelement \(0\) und unser Einselement \(1\)

Zu \(a=1+1\): 

\(1+1=1\) ist offensichtlich unmöglich. Setzten wir also \(1+1=0\). Dann ist \(a+1=a\Rightarrow 1=0 \) Widerspruch

Also ist \(1+1=a\).

Schaffst du den Rest selber?

 

Gruß,

Gauß

 

*Edit*:"Aber wie komme ich darauf, dass ich ausgerechnet a+1=a verwende?"

In jeder Zeile der Tafel muss jedes Element genau einmal vorkommen. 

\(1+0=1\) ist bekannt. Fehlt also noch \(1+1=?\) und \(1+a=?\).  In dieser Zeile der Tafel müssen noch die Elemente \(0\) und \(a\) auftauchen. Wenn wir \(1+1=0\) setzten, bleibt für \(1+a\) ja nur \(=a\) übrig, was dann aber zu einem Widerspruch führt. 

 

"Was fehlt noch bei a²?"

Die Begründung, wieso \(a^2=1\) sein soll. Sprich, du müsstest noch zeigen, wieso \(\left ( 1+1 \right )\cdot\left ( 1+1 \right )=1\). Das ist aber recht trivial.

 

"Und wie gehe ich bei dem Beweis für 1+a=0 an die Sache heran? "

Da \(1+1=a\) und \(1+0=1\) muss \(1+a=0\) sein. Es gibt ja kein weiteres Element in unserer Menge.

 

Kann man da auch über das Nullelement der Addition zu gelangen? Also: 1*a = e = a*1 führt zu 1+a=e=0?"

1 ist das Einselement, daher gilt \(1*a=a\neq 0\)

Hallo, vielen Dank für die Antwort! Was da passiert, verstehe ich nun soweit. Aber wie komme ich darauf, dass ich ausgerechnet a+1=a verwende?   Was fehlt noch bei a²?   Und wie gehe ich bei dem Beweis für 1+a=0 an die Sache heran? Ist das dann dasselbe wie bei 1+1=a, also: a+1=1 ist ein Widerspruch wegen a=0? (Widerspruch bei a+1=a steht ja schon oben) Kann man da auch über das Nullelement der Addition zu gelangen? Also: 1*a = e = a*1 führt zu 1+a=e=0?   Die Tafeln zu erstellen schaffe ich hoffentlich ;).   Im Vorraus schon mal vielen Dank!