Wenn Assoziativität gelten würde, dann bedeutet das ja, dass \( \lfloor \lfloor x+y \rfloor + z \rfloor = \lfloor x + \lfloor y+ z \rfloor \rfloor \) sein müsste, und zwar für alle \( x,y,z \in \mathbb{R} \).

Betrachten wir in der Gleichung den Spezialfall \( z=0 \), dann erhalten wir \( \lfloor x+y \rfloor = \lfloor x + \lfloor y \rfloor \rfloor \). Das sieht schon sehr falsch aus - zumindest im Allgemeinen. Und tatsächlich findet man mit etwas Probieren einen Widerspruch, beispielsweise erhalten wir für \( x=y=0,5 \) aus der Gleichung den Widerpruch \( 1 = \lfloor 1 \rfloor \) \( = \lfloor 0,5+0,5 \rfloor \) \( = \lfloor 0,5 + \lfloor 0,5 \rfloor \rfloor \) \( = \lfloor 0,5 + 0 \rfloor \) \( = \lfloor 0,5 \rfloor = 0 \).

Und damit ist die Aufgabe gelöst. Wie das obige Gegenbeispiel zeigt, ist die Verknüpfung nicht assoziativ.

Ich gehe bei solchen Aufgaben immer so vor:

1) Definitionen und Folgerungen aufschreiben und sich einen Überblick über die Aufgabe verschaffen.

2) Spezialfälle untersuchen. Oft sind falsche Aussagen schon für triviale Fälle falsch.

3) Rumprobieren und Werte einsetzen.

4) Wenn bislang keine Widersprüche aufgetaucht sind, dann ist die Aussage wahrscheinlich wahr. Dann sollte man sich an einem Beweis versuchen.

Möglicherweise hast du aber auch schon früher, vielleicht sogar schon nach dem ersten Schritt eine Idee für einen Beweis. Dann solltest du diese Idee natürlich ausführen. Und auch wenn du am Beweis scheiterst, kann das trotzdem nützlich sein. Häufig kann man dadurch nämlich sehen, an welchen Stellen es bei der Aussage hakt und findet dann vielleicht doch ein Gegenbeispiel.