Du hattest bereits einen richtigen Ansatz:

\(A=\frac12 * QP*QO\)

Nun können wir aber die Variablen noch ändern, denn QO ist einfach nur x, bzw. -x da wir nur mit Positiven Zahlen rechnen wollen und nur negative gegeben sind. Dann haben wir noch QP und das ist f(x) es ist ja die Auslenkung in die Y-Achse.

Eingesetzt ergibt das:

\(A=\frac12 * f(x)*(-x)=\frac12 * (\frac16x^3-\frac32x)*(-x)=\frac12 * (-\frac16x^4+\frac32x^2)=-\frac{1}{12}x^4+\frac34x^2 \)

Diese Funktion leiten wir jetzt ab um die Extremstellen zu finden:

\(A'=-\frac13x^3+\frac32x\)

Hiervon ermitteln wir die Nullstellen, ich glaube du weißt, wie das geht, deshalb nur die Lösung:

\(L=\{-2,12 | 0 | 2,12\}\)

Wir überprüfen nur -2,12, da uns nur der 2. Quadrant interessiert.

Eingesetzt in die 2. Ableitung erhalten wir, dass es sich um ein Hochpunkt handelt:

\(A''=-x^2+\frac32\)

\(A''(-(-2,12)^2+\frac32=-0,62\) => Hochpunkt

Als letztes berechnen wir noch den Y-Wert von -2,12 in unserer Funktion vom Anfang um die Höhe von P zu erhalten:

\(f(x)=\frac16x^3-\frac32x\)

\(f(-2,12)=\frac16(2,12)^3-\frac32*2,12=1.59\)

Damit wissen wir das PQO an der Stelle P( -2,12 | 1,59 ) am größten ist.