Dein Grenzwert stimmt, ich komme aber nicht auf deine zwei Folgen sondern nur auf $\left(\dfrac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n$. Und Achtung du kannst hier nicht von Teilfolgen sprechen, die sind etwas anders definiert!
Einfacher geht es wenn du mit Hilfe der Potenzgesetze umschreibst (Reziproke).
\[\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n=\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{-1}\right)^n=\ldots \overset{n\longrightarrow \infty}{=}e^{-1}=\dfrac{1}{e}\]