Das ist etwas aufwendig nachzurechnen, mach ich aber als Vorleistung im Vertrauen darauf, dass Du jetzt Deine früheren Fragen durchgehst und (siehe Kodex, link oben rechts) als beantwortet abhakst (falls sie beantwortet sind, Anleitung siehe e-mail).
Dein $f(z)$ stimmt nicht, richtig wäre: $f(z)=\frac{b}{2h}z+\frac94b$.
Dann komme ich als Ergebnis auf $\frac{17bh^3}{48}$.

Dein Ansatz ist soweit gut, aber die Funktion \( f \) ist nicht ganz richtig. Es fehlt noch eine Konstante.

Wenn du in \( z \)-Richtung auf der Höhe \( \frac{h}{2} \) bist, dann läuft der \( y \)-Wert von \( \frac{5}{2}b \) bis \( \frac{5}{2}b \) (weil \( A_3 \) in dieser Höhe nur aus einem Punkt besteht). Es muss also \( f(\frac{h}{2}) = \frac{5}{2}b \) sein. Wenn du in \( z \)-Richtung auf der Höhe \( \frac{3}{2}h \) bist, dann läuft der \( y \)-Wert von \( \frac{5}{2}b \) bis \( 3b \). Es muss also \( f(\frac{3}{2}h) = 3b \) sein.

Über den Ansatz, dass \( f \) linear ist, erhältst du aus obigen Informationen ein LGS. Damit kommst du hoffentlich zur richtigen Funktion.