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Die komplexen Nullstellen des Polynoms
\( p = x^8 + x^7 + \dots + x + 1 \in \mathbb{Q}[x] \)
sind genau die neunten Einheitswurzeln außer der \( 1 \). Betrachte dazu die Zerlegung
\( x^9 - 1 = (x - 1) (x^8 + x^7 + \dots + x + 1) \).
(Diese Zerlegung gilt auch allgemein für andere Zahlen außer \( 9 \)).
Sei nun \( \zeta \) eine primitive dritte Einheitswurzel. Da eine dritte Einheitswurzel insbesondere auch eine neunte Einheitswurzel ist, ist \( \zeta \) Nullstelle des Polynoms \( p \). Das Minimalpolynom \( x^2 + x + 1 \) von \( \zeta \) über \( \mathbb{Q} \) muss deshalb ein Teiler von \( p \) sein. Mit Polynomdivision erhält man dann die gewünschte Zerlegung.
Bei dieser Art von Polynom findet man also immer eine Zerlegung (oder man stellt fest, dass es irreduzibel ist), wenn man mit Einheitswurzeln arbeitet.
\( p = x^8 + x^7 + \dots + x + 1 \in \mathbb{Q}[x] \)
sind genau die neunten Einheitswurzeln außer der \( 1 \). Betrachte dazu die Zerlegung
\( x^9 - 1 = (x - 1) (x^8 + x^7 + \dots + x + 1) \).
(Diese Zerlegung gilt auch allgemein für andere Zahlen außer \( 9 \)).
Sei nun \( \zeta \) eine primitive dritte Einheitswurzel. Da eine dritte Einheitswurzel insbesondere auch eine neunte Einheitswurzel ist, ist \( \zeta \) Nullstelle des Polynoms \( p \). Das Minimalpolynom \( x^2 + x + 1 \) von \( \zeta \) über \( \mathbb{Q} \) muss deshalb ein Teiler von \( p \) sein. Mit Polynomdivision erhält man dann die gewünschte Zerlegung.
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