Bestimmen eines orthogonalen Vektors

Aufrufe: 506     Aktiv: 27.02.2021 um 11:26
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Hallo Zusammen,
Ich stecke gerade in der Prüfungsvorbereitung und habe Probleme beim bearbeiten einer Aufgabe:

für die Skalarprodukte der dreidimensionalen Vektoren a, b und c gilt:
a*a=3
b*b=1
c*c=3
a*b=0
a*c=1
b*c=3
Berechnen sie die reellen Zahlen w und u so, dass der Vektor
d=w*a+2*b+u*c 
sowohl mit a als auch mit b orthogonal ist.

mir ist schon aufgefallen das der Betrag von a,b und c sqrt(3), 1 und sqrt(3) ist, und das a und b schon orthogonal zueinander stehen.
Allerdings weiß ich nicht was mir das bringen soll und mir fehlt auch generell etwas der Ansatz.
Freue mich über Hilfe.
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Geht schneller mit der Berechnung von \(\langle d, a \rangle=0\) und \(\langle d, b \rangle=0\) und Ausnutzung der Linearität des Skalarprodukts sowie der angegebenen Skalarprodukte. Liefert zwei Gleichungen für zwei Unbekannte.
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Was meinst du mit der Ausnutzung der Linearität?
   ─   backame 27.02.2021 um 10:31

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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ob es noch eine schnellere Lösung gibt, weiß ich nicht :D, aber

wenn du die Vektoren komponentenweise aufschreibst (a1 a2 a3) usw. und d mal a =0 bzw. d mal b = 0 aufschreibst, gelangst du ja zu zwei großen Summen, in denen du die passenden Summanden nach obiger Tabelle zusammenfassen kannst, 

also bspw wa1²+wa2²+wa3²=3w; 

das führt zu zwei Gleichungen mit u und w

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