Der Grund dafür, dass darüber nichts in der Vorlesung gesagt wurde, ist, dass man im Allgemeinen nichts darüber sagen kann, ob die Komposition zweier Funktionen stetig ist, wenn eine oder beide Funktionen nicht stetig sind. Betrachte z.B. \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\) $$f(x)=\mathbf1_{\mathbb R_\geq}(x):=\begin{cases}1,&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}\qquad\text{ für alle }x\in\mathbb R.$$ Offensichtlich ist \(f\) unstetig, da die Funktion bei der \(0\) einen Sprung macht. Aber \(f\circ f=1\) ist stetig. Natürlich kann man sich auch ähnliche Beispiele überlegen, bei denen eine der verketteten Funktionen stetig und die andere unstetig ist.