Deine Funktion \(f(x)=bx-\frac12x^2\) ist eine nach unten geöffnete Parabel, das heißt sie geht auf jeden Fall gegen \(-\infty\), darum müssen wir uns keine Sorgen machen. Ihr Maximum nimmt sie an ihrem Scheitelpunkt an. Bringen wir die Funktion in Scheitelpunktform, erhalten wir \(f(x)=-\frac12(x-b)^2+\frac{b^2}2\). Folglich ist der Scheitelpunkt bei \((b|\frac{b^2}2)\), die y-Koordinate davon soll jetzt 1 sein. Das heißt, du musst nur noch die Gleichung \(\frac{b^2}2=1\) nach \(b\) auflösen. Das kriegst du alleine hin!